Una strana proprietà

[donald_zeka]

Ripropongo un problema del quale non ho trovato a soluzione:

Si consideri per ogni numero naturale $n$ la funzione $f(n) = [10^(n+1)-9n-10]/81$
Si dimostri che, chiamata $Sf(n)$ la somma delle cifre che compongono $f(n)$ quando scirtta in base 10, allora $2*Sf(n) = n^2+n-18k$, per qualche k intero non negativo.
Io ho provato un primo approccio, ho diviso tutto per due ed ho ottenuto: $Sf(s)= (n^2+n-18k)/2 = (n^2+n)/2 -9k = (n(n+1))/2 -9k$
Ed ho notato che $(n(n+1))/2$ è la somma delle dei primi n numeri naturali, infatti tentando per numeri piccoli si ha che $f(n)$ da risultati del tipo $12345$... che appunto è la somma dei primi $ n$ numeri, e $ Sf(s)$ è giusta, per $ k=0$ , tentando per numeri piu grandi si hanno risultati diverso che però verificano $ Sf(n)$ ponendo $k$ = a qualche numero naturale...ma non riesco a trovarci la logica che sta dietro a tutto questo...insomma mi manca qualcosa...qualcuno ha idee?

[isaac888]

Ciao. Ti scrivo una soluzione costruttiva che secondo me ti spiega anche dell cose che hai già notato. Iniziamo con il vedere la $ f(n)$ in una maniera un po' "diversa".

OSS preliminari:

$(10^s-1)=(10-1)(10^{s-1}+...+10+1)=9(10^{s-1}+...+10+1)$

Per cui abbiamo capito che $(10^s-1)=9\cdot 111...1$ dove $111...1$ è lungo $s$ cifre.
A questo punto la nostra funzione diventa:

$ f(n)=\frac{10 (10^n-1)-9n}{81}=\frac{10\cdot9\cdot111...1-9n}{81}= \frac{(9+1)\cdot9\cdot111...1-9n}{81}= 111...1 + \frac {111...1-n}{9}$

Osservo che:

$111...1-n=(10^{n-1}+...+10+1)-(1+...+1)= [10^{n-1}-1]+...+[10-1]+[1-1]=[9\cdot(10^{n-2}+...+10+1)]+...+9=9\cdot(111...1+...+111+11+1)$

Per cui si ha che:

$ f(n)=111...1+...+111+11+1 $

dove la lunghezza delle cifre va da $ n $ ad $1 $. Per cui scrivendo in colonna le cifre:

$1111111111111111$
$0111111111111111$
$0011111111111111$
$0001111111111111$
$0000111111111111$
$...$
$0000000000000111$
$0000000000000011$
$0000000000000001$

Si oss che sommando le cifre nella notazione posizionale, da destra a sinistra otteniamo (visto che sono $n$ righe) la somma dei primi $ n $ numeri naturali.

Per cui:

$ S(f(n))=\frac{n (n+1)}{2}\Rightarrow 2S(f (n))= n (n+1)$ per $n\leq9 $. Quindi $ S (f (n))=123...n $ fino a che $ n \leq 9$.
Il $18k $ diventa importante non appena $ n $ supera $9$.
A questo punto spero che tu ci capisca qualcosa di congruenze.
In generale sappiamo che:

$ S (f (n))=S (1 + 11+111+...111...1) $ con lunghezze da $1 $ ad $ n $.

Poiché ogni sequenza di uni di lunghezza $ h$ non è niente altro che $\sum_{j=0}^{h-1} 10^h$, e sappiamo che $10^h\equiv1 mod (9)$, la somma di tutte le cifre è $ h mod (9) $.
Per cui, poiché la somma di tutte le cifre di $ f (n) $ è

$\sum_{j=1}^{n}\sum_{h=0}^{j-1} 1 mod (9) $

che è uguale a

$\sum_{j=1}^{n}1 mod (9) = \frac {n (n+1)}{2} mod(9) $

Allora abbiamo scoperto che

$ S (f (n))=\frac {n (n+1)}{2} mod (9) iff S (f (n))=\frac {n (n+1)}{2} - 9k$ per ogni $ k\in\mathbb {Z}$ (ma possiamo anche limitarci a $ k\in \mathbb {N} $).

Da cui la tesi: $2S (f (n))=n (n+1) -18k, k\in mathbb {N} $.