Una def. di iniettività un pò strana.... !?

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
quasi non ci pensavo più, ho avuto modo, 4gg fà, di assistere ad una lezione di logica matematica, ed il docente ci propose una definizione di iniettività un pò strana, noi gli abbiamo detto che non l'avevamo mai incontrata e lui ci disse perchè abbiamo sempre definito quello che poi è una proprietà. La def. è questa:

Def.: data una funzione $f:X->Y$, $f$ è iniettiva se $AAy in Y (EE!x in X ( in f) vv \neg(EEx in X ( in f)))$

il problema è che non fornisce appunti, e quindi non siamo, nè io nè i mie colleghi, sicuri di ciò e non riusciamo a trovare appunti o testi ove si può attestare che sia vera o giusta questa definizione.

Secondo voi è giusta?
Ringrazio anticipatamente!

Cordiali saluti

[maurer]

E' giusta.
Ti sta dicendo che per ogni [tex]y \in Y[/tex] vale la seguente alternativa: o ha un'unica controimmagine, oppure non ne ha nessuna. Ed è chiaramente equivalente alla solita definizione... Cioè mi sembra chiaro. Comunque prova a convincerti che la tua formula è soddisfatta sse si verifica quello che ho scritto e poi dimostra che questo è equivalente alla definizione solita.

[garnak.olegovitc1]

Salve maurer,

"maurer":E' giusta.
Ti sta dicendo che per ogni [tex]y \in Y[/tex] vale la seguente alternativa: o ha un'unica controimmagine, oppure non ne ha nessuna. Ed è chiaramente equivalente alla solita definizione... Cioè mi sembra chiaro. Comunque prova a convincerti che la tua formula è soddisfatta sse si verifica quello che ho scritto e poi dimostra che questo è equivalente alla definizione solita.

ok! Però pensando con alcuni dei miei colleghi, ci sembra lecito scrivere anche:

Def.: data una funzione $f:X->Y$, $f$ è iniettiva se $AAy in Im(f) (EE!x in X ( in f))$

o no? Ovviamente se è giusto si è meglio provare l'equivalenza delle definizioni a livello logico...
Ringrazio anticipatamente!

Cordiali saluti

[maurer]

Sì è giusto anche dire così. Tieni presente che [tex]y \in \text{Im}(f)[/tex] può essere vista come un'abbreviazione di [tex]\exists x \in X (\langle x,y \rangle \in f)[/tex].

Comunque, parlando di cose più interessanti, prova a dimostrare che una funzione [tex]f \colon X \to Y[/tex] è iniettiva se e solo se per ogni coppia di funzioni [tex]g,h \colon Z \to X[/tex] tali che [tex]f \circ g = f \circ h[/tex] segue [tex]g = h[/tex]... Questa è una definizione/proprietà ben più interessante!

[garnak.olegovitc1]

Salve maurer,

"maurer":Sì è giusto anche dire così. Tieni presente che [tex]y \in \text{Im}(f)[/tex] può essere vista come un'abbreviazione di [tex]\exists x \in X ( \in f)[/tex].

Comunque, parlando di cose più interessanti, prova a dimostrare che una funzione [tex]f \colon X \to Y[/tex] è iniettiva se e solo se per ogni coppia di funzioni [tex]g,h \colon Z \to X[/tex] tali che [tex]f \circ g = f \circ h[/tex] segue [tex]g = h[/tex]... Questa è una definizione/proprietà ben più interessante!

leggo solamente il testo le codifiche in tex non riesco a leggerle, è un problema mio o tuo?
Speriamo che si risolva!
Cordiali saluti

[maurer]

Adesso dovrebbe essere a posto.
Cosa mi dici dell'esercizio che ti ho proposto?