Una banalità sulla definizione di Campo
Ciao a tutti,
io ho sempre usato equivalentemente queste due definizione di Campo:
Sia $K$ un insieme e $+,*$ due operazioni binarie interne su $K$.
$text{Definizione 1.}$
La struttura algebrica $(K,+,*)$ è un campo se:
$1)(K,+)$ è un gruppo Abeliano.
$2)(K^**,*)$ è un gruppo Abeliano. (Dove $K^**$ indica l'insieme $K$ privo dell'elemento neutro rispetto a $+$).
$3)*$ è distributivo rispetto a $+$.
$text{Definizione 2.}$
La struttura algebrica $(K,+,*)$ è un campo se $(K,+,*)$ è un anello commutativo unitario dove ogni elemento diverso dall'elemento neutro rispetto a $+$ è invertibile rispetto a $*$.
Tuttavia questa mattina mi è venuto in mente che nella $text{Definizione 1.}$ si chiede che $K^**$ abbia elemento neutro rispetto a $*$, mentre nella $text{Definizione 2.}$ la richiesta vale per $K$.
Dove risiede l'inghippo ?
Grazie in anticipo
io ho sempre usato equivalentemente queste due definizione di Campo:
Sia $K$ un insieme e $+,*$ due operazioni binarie interne su $K$.
$text{Definizione 1.}$
La struttura algebrica $(K,+,*)$ è un campo se:
$1)(K,+)$ è un gruppo Abeliano.
$2)(K^**,*)$ è un gruppo Abeliano. (Dove $K^**$ indica l'insieme $K$ privo dell'elemento neutro rispetto a $+$).
$3)*$ è distributivo rispetto a $+$.
$text{Definizione 2.}$
La struttura algebrica $(K,+,*)$ è un campo se $(K,+,*)$ è un anello commutativo unitario dove ogni elemento diverso dall'elemento neutro rispetto a $+$ è invertibile rispetto a $*$.
Tuttavia questa mattina mi è venuto in mente che nella $text{Definizione 1.}$ si chiede che $K^**$ abbia elemento neutro rispetto a $*$, mentre nella $text{Definizione 2.}$ la richiesta vale per $K$.
Dove risiede l'inghippo ?
Grazie in anticipo
Risposte
Ma l'unità non può essere lo zero in un campo, direi quasi per definizione. Infatti:
$0*alpha=0≠alpha forall alpha in K^*$
$0*alpha=0≠alpha forall alpha in K^*$
Ciao,
grazie per la risposta.
Non credo debba valere che l'elemento neutro rispetto a $+$ sia assorbente rispetto a $*$, ricordando che $+$ e $*$ sono operazioni arbitrarie.
grazie per la risposta.
Non credo debba valere che l'elemento neutro rispetto a $+$ sia assorbente rispetto a $*$, ricordando che $+$ e $*$ sono operazioni arbitrarie.
Dici di no?
$forall a,b in K, 0*b= (a-a)*b=ab - ab=0 $
$forall a,b in K, 0*b= (a-a)*b=ab - ab=0 $
Mhh interessante.
Allora ogni elemento di $K$ funge dal elemento neutro dello $0$ rispetto a $*$ (non mi sembra in tal senso richiesta l'unicità), perché quindi dici che l'elemento neutro rispetto a $+$ non ammette elemento neutro rispetto a $*$ ?
Per te quindi, quale definizione è corretta (sul mio libro di geometria&Algebra le trovo entrambe)...
Allora ogni elemento di $K$ funge dal elemento neutro dello $0$ rispetto a $*$ (non mi sembra in tal senso richiesta l'unicità), perché quindi dici che l'elemento neutro rispetto a $+$ non ammette elemento neutro rispetto a $*$ ?
Per te quindi, quale definizione è corretta (sul mio libro di geometria&Algebra le trovo entrambe)...
Per dicono entrambe la stessa cosa, tutto sta nel mettere l'attenzione sullo zero. La prima semplicemente lo toglie e dice il resto è abeliano per la moltiplicazione, la seconda lo tiene e non ti dice che è un gruppo, bensì un monoide in cui il gruppo degli invertibili è composto da tutti gli elementi tranne lo zero. Io preferisco la seconda 
Ok perfetto, perdona la mia ignoranza in materia 
Grazie mille
Grazie mille
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