Un tipo particolare di ideale
Salve a tutti, ho delle difficoltà nel risolvere il seguente esercizio.
Un sottoinsieme $A$ di un anello $R$, $A\ne\emptyset$ è detto $\text{adeal}$ di $R$ se
$(i)$ $a,b\in A$, allora $a+b\in A$;
$(ii)$ $r\in R$, $a\in A$, allora $ar\in A$ e $ra\in A$.
Provare che
$(a)$ Un adel $A$ di $R$ è un ideale di $R$ se per ogni $a\in A$ esiste un intero $n\ne 0$, dipendente da $a$,
tale che $na\in aR+Ra$ [Questa condizione, in particolare, è soddisfatta, se $R$ possiede l'unità moltiplicativa].
$(b)$ Quando $R$ è un anello commutativo, la condizione $(a)$ è necessaria e sufficiente affinché sia un ideale.
Suggerimento: Per $a\in R$, l'insieme $A=\{na|n\in\mathbb{Z}_+\}+aR$ è un adel di $R$; dunque un ideale di $R$.
$\text{Tentativo di svolgimento}:$
$(a)$ Se $A$ è un adel, per mostrare che $A$ è un ideale, è sufficiente mostrare che se $a\in A$, allora $-a\in A$. Dunque, è sufficiente mostrare che se $a\in A$, $\existsm \ge 1$ tale che $-ma\in A$. Se $m=1$ siamo apposto e se $m>1$, allora prendiamo $(m-1)a+(-ma)=-a\in A$. Ora non so come procedere vista questa premessa. Qualcuno potrebbe darmi una mano su come procedere?
Vi ringrazio!
Un sottoinsieme $A$ di un anello $R$, $A\ne\emptyset$ è detto $\text{adeal}$ di $R$ se
$(i)$ $a,b\in A$, allora $a+b\in A$;
$(ii)$ $r\in R$, $a\in A$, allora $ar\in A$ e $ra\in A$.
Provare che
$(a)$ Un adel $A$ di $R$ è un ideale di $R$ se per ogni $a\in A$ esiste un intero $n\ne 0$, dipendente da $a$,
tale che $na\in aR+Ra$ [Questa condizione, in particolare, è soddisfatta, se $R$ possiede l'unità moltiplicativa].
$(b)$ Quando $R$ è un anello commutativo, la condizione $(a)$ è necessaria e sufficiente affinché sia un ideale.
Suggerimento: Per $a\in R$, l'insieme $A=\{na|n\in\mathbb{Z}_+\}+aR$ è un adel di $R$; dunque un ideale di $R$.
$\text{Tentativo di svolgimento}:$
$(a)$ Se $A$ è un adel, per mostrare che $A$ è un ideale, è sufficiente mostrare che se $a\in A$, allora $-a\in A$. Dunque, è sufficiente mostrare che se $a\in A$, $\existsm \ge 1$ tale che $-ma\in A$. Se $m=1$ siamo apposto e se $m>1$, allora prendiamo $(m-1)a+(-ma)=-a\in A$. Ora non so come procedere vista questa premessa. Qualcuno potrebbe darmi una mano su come procedere?
Vi ringrazio!
Risposte
Io direi che $na=ar+sa$ con $r,s in R$, ora $-r in R$ quindi $a(-r) in A$ e $-s in R$ quindi $(-s)a in A$. D'altra parte è facile vedere che $a(-r)=-ar$ e $(-s)a=-sa$. Siccome $A$ è chiuso per la somma otteniamo che $A$ contiene $a(-r)+(-s)a = -ar-sa = -(ar+sa) = -na = (-n)a$.
Ciao Martino, e grazie della risposta.
Io non capisco perché $na=ar+sa$ con $r,s\in R$, cioè questo non lo abbiamo mostrato almeno a questo livello. Possiamo dire che $na\in A$ poiché $A$ è adeal e contiene le somme finite, ma per il resto?
E per il il punto $(b)$?
Io non capisco perché $na=ar+sa$ con $r,s\in R$, cioè questo non lo abbiamo mostrato almeno a questo livello. Possiamo dire che $na\in A$ poiché $A$ è adeal e contiene le somme finite, ma per il resto?
E per il il punto $(b)$?
"elatan":È vero per ipotesi. Rileggi il punto (a).
Io non capisco perché $na=ar+sa$ con $r,s\in R$
E per il il punto $(b)$?Che idee hai?
Si, ora ho capito come funziona per il punto $(a)$.
Al punto $(b)$ ho pensato ma sinceramente non sono riuscito a mettere insieme i pezzi.
Al punto $(b)$ ho pensato ma sinceramente non sono riuscito a mettere insieme i pezzi.
Non è possibile che tu non abbia nemmeno un'idea.
Gentile Martino, ti ringrazio per la pazienza, ma a me questo esercizio l ha fatta perdere proprio. Tipo ora non capisco nemmeno perché la condizione $(a)$ è soddisfatta se $R$ possiede l'unità moltiplicativa.
Il punto $(b)$, nonostante ci abbia pensato in questa giornata non sono riuscito ad inquadrarlo, non lo so, mi dispiace
Il punto $(b)$, nonostante ci abbia pensato in questa giornata non sono riuscito ad inquadrarlo, non lo so, mi dispiace
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