Un teorema sull'equipotenza tra due insiemi e i rispettivi insiemi delle parti
Salve. Ad Algebra 1, dopo aver fatto teoria degli insiemi (con un approccio semi-ingenuo), e un po' di discussione sulle strutture algebriche e sull'aritmetica in $ZZ$, abbiamo fatto un periodo di pausa didattica in un cui io e un mio amico ci siamo cimentanti in una dimostrazione ovvero:
"Siano $S$ e $T$ non vuoti, $S$ è equipotente a $T$ se e solo se l'insieme della parti di $S$ è equipotente all'insieme delle parti di $T$"
Allora l'implicazione diretta è stata abbastanza facile da dimostrare (anche se l'abbiamo dimostrata in due modi diversi), per l'implicazione inversa entrambi abbiamo pensato di usare un assurdo sfruttando l'ipotesi generalizzata del continuo e ci riuscivamo, tuttavia la mia domanda è se fosse possibile dimostrare che $|P(S)|=|P(T)|$ implica $|S|=|T|$ lavorando in $ZFC$ o al più aggiungendo agli assiomi solo l'ipotesi del continuo. Per fare ciò pensavo di usare Hartogs per ottenere una funzione iniettiva da $S$ a $T$ e costruire una funzione iniettiva da $T$ a $S$ sfruttando sia il fatto che $|P(S)|=|P(T)|$ sia usando il lemma di Zorn e infine terminare con il teorema di Bernstein. Tuttavia appena ci ho provato mi sono bloccato e anche il mio amico non è riuscito a trovare un modo. Dunque, volevo chiedervi: è possibile dimostrare questa implicazione senza usare l'ipotesi generalizzata del continuo? E se sì, se non vi reca disturbo, potreste darmi un suggerimento?
"Siano $S$ e $T$ non vuoti, $S$ è equipotente a $T$ se e solo se l'insieme della parti di $S$ è equipotente all'insieme delle parti di $T$"
Allora l'implicazione diretta è stata abbastanza facile da dimostrare (anche se l'abbiamo dimostrata in due modi diversi), per l'implicazione inversa entrambi abbiamo pensato di usare un assurdo sfruttando l'ipotesi generalizzata del continuo e ci riuscivamo, tuttavia la mia domanda è se fosse possibile dimostrare che $|P(S)|=|P(T)|$ implica $|S|=|T|$ lavorando in $ZFC$ o al più aggiungendo agli assiomi solo l'ipotesi del continuo. Per fare ciò pensavo di usare Hartogs per ottenere una funzione iniettiva da $S$ a $T$ e costruire una funzione iniettiva da $T$ a $S$ sfruttando sia il fatto che $|P(S)|=|P(T)|$ sia usando il lemma di Zorn e infine terminare con il teorema di Bernstein. Tuttavia appena ci ho provato mi sono bloccato e anche il mio amico non è riuscito a trovare un modo. Dunque, volevo chiedervi: è possibile dimostrare questa implicazione senza usare l'ipotesi generalizzata del continuo? E se sì, se non vi reca disturbo, potreste darmi un suggerimento?
Risposte
Chiaramente assumendo l'ipotesi del continuo è facile dimostrare quella cosa, ma senza non si può, è una cosa indecidibile, infatti esistono modelli di $ZFC$ in cui $2^(\aleph_0)=\aleph_1,2^(\aleph_1)=\aleph_3$ e $2^k=k^+$ per ogni cardinale $k>=\aleph_2$.
In questa situazione due insiemi di cardinalità $\aleph_1$ e $\aleph_2$ hanno entrambi l'insieme delle parti di cardinalità $\aleph_3$.
In questa situazione due insiemi di cardinalità $\aleph_1$ e $\aleph_2$ hanno entrambi l'insieme delle parti di cardinalità $\aleph_3$.
Ok, grazie, quindi l'ipotesi del continuo va assunta. Ma quindi non si necessita della versione generalizzata?
Hai capito male mi sa, non ho detto che l'ipotesi del continuo va assunta, si possono fare esempi in cui non è verificata ma la proprietà che vuoi dimostrare vale. E non mi viene in mente un modo di dimostrare quella proprietà assumendo qualcosa di più debole dell'ipotesi del continuo generalizzata (non banale).
Ma se si possono fare esempi in cui non è verificata, come fa a valere in ZFC?
Ma infatti in $ZFC$ non si può dimostrare.
Ah, ok, allora avevo frainteso l'ultimo messaggio, scusami. Comunque grazie di nuovo per tutte le tue risposte.
Non c'è di che 
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