Un sottoanello particolare di $QQ$
Sia $A=ZZ[2/3]$ l’intersezione di tutti i sottoanelli di $QQ$ che contengono sia $ZZ$ che $2/3$. Determinare gli elementi invertibili di $A$.
Allora intanto ho notato che $AsubZZ[1/3]={a/3^n| ainZZ,n>=0}$ per cui i possibili elementi invertibili sono della forma $3^k$ con $kinZZ$, ora c'è da mostrare se sono tutti questi o c'è qualcuno da togliere. Inoltre avevo pensato se $ZZ[2/3]={a*(2/3)^n| ainZZ,n>=0}$ ma non mi sembra funzioni come sottogruppo per la chiusura della somma. Qualcuno riesce a darmi una mano?
Allora intanto ho notato che $AsubZZ[1/3]={a/3^n| ainZZ,n>=0}$ per cui i possibili elementi invertibili sono della forma $3^k$ con $kinZZ$, ora c'è da mostrare se sono tutti questi o c'è qualcuno da togliere. Inoltre avevo pensato se $ZZ[2/3]={a*(2/3)^n| ainZZ,n>=0}$ ma non mi sembra funzioni come sottogruppo per la chiusura della somma. Qualcuno riesce a darmi una mano?
Risposte
Ma una somma di invertibili non è per forza invertibile. Per esempio $1+(-1)=0$.
Ah forse ho frainteso la domanda, osserva che $1/3 = -(2/3-1) in A$ quindi $A=ZZ[1/3]$.
"Martino":
Ah forse ho frainteso la domanda, osserva che $1/3 = -(2/3-1) in A$ quindi $A=ZZ[1/3]$.
A così diretto, non ci avevo pensato che fossero uguali sinceramente ahahahahha. Vabbe allora così è molto più semplice, ora rivedo un po gli altri punti e vedo se c'è qualcosa che non mi torna, grazie
Quindi per come mi hai detto $ZZ[1/3]=ZZ[2/3]$ e quindi rispondere a queste domande diventa molto più facile:
a) Gli elementi invertibili sono della forma $3^k$ con $kinZZ$
b) la funzione $phi(k)=3^k$ è un isomorfismo tra $ZZ$ e $U(A)$
c) se esistesse tale omomorfismo si dovrebbe avere che $3*phi(1/3)=1$ ma $3$ non è invertibile in $ZZ_(/6)$ quindi tale omomorfismo non esiste
d) Pongo $phi(a/3^n)=[5^na]_7$ è un omomorfismo suriettivo da $A$ ad $ZZ_(/7)$
e) Per il teorema fondamentale dell'omomorfismo si ha che $A_(/kerphi)$ è isomorfo a $ZZ_(/7)$ che è un campo perciò $A_(/kerphi)$ è un campo e quindi $kerphi$ è massimale.
f)Se $[5^na]_7=[0]_7$ poichè $ZZ_(/7)$ è un campo necessariamente $[a]_7=[0]_7$, per cui $kerphi$ è l'ideale principale generato dai multipli di $7$ in $ZZ[1/3]$.
Dovrebbe essere tutto corretto
a) Gli elementi invertibili sono della forma $3^k$ con $kinZZ$
b) la funzione $phi(k)=3^k$ è un isomorfismo tra $ZZ$ e $U(A)$
c) se esistesse tale omomorfismo si dovrebbe avere che $3*phi(1/3)=1$ ma $3$ non è invertibile in $ZZ_(/6)$ quindi tale omomorfismo non esiste
d) Pongo $phi(a/3^n)=[5^na]_7$ è un omomorfismo suriettivo da $A$ ad $ZZ_(/7)$
e) Per il teorema fondamentale dell'omomorfismo si ha che $A_(/kerphi)$ è isomorfo a $ZZ_(/7)$ che è un campo perciò $A_(/kerphi)$ è un campo e quindi $kerphi$ è massimale.
f)Se $[5^na]_7=[0]_7$ poichè $ZZ_(/7)$ è un campo necessariamente $[a]_7=[0]_7$, per cui $kerphi$ è l'ideale principale generato dai multipli di $7$ in $ZZ[1/3]$.
Dovrebbe essere tutto corretto
"andreadel1988":
a) Gli elementi invertibili sono della forma $3^k$ con $kinZZ$
$\pm 3^k$
"hydro":
$\pm 3^k$
Eh si pardon
"andreadel1988":Eh si pardon[/quote]Quindi la risposta a (b) è No.
[quote="hydro"]
$\pm 3^k$
"Martino":Eh si pardon[/quote]Quindi la risposta a (b) è No.[/quote]
[quote="andreadel1988"][quote="hydro"]
$\pm 3^k$
Eh si perchè non è suriettiva da $ZZ$ a $U(A)$
"andreadel1988":No non è per questo. Come fai a dimostrare che $U(A)$ e $ZZ$ non sono isomorfi?
Eh si perchè non è suriettiva da $ZZ$ a $U(A)$
Il tuo argomento non può essere "perché $phi: ZZ to U(A)$, $phi(k)=3^k$ non è isomorfismo". Se $A,B$ sono oggetti algebrici (anelli, gruppi, etc.) l'esistenza di $phi:A to B$ che non è isomorfismo NON implica che $A$ e $B$ non sono isomorfi.
"Martino":
No non è per questo. Come fai a dimostrare che $U(A)$ e $ZZ$ non sono
Il tuo argomento non può essere "perché $phi: ZZ to U(A)$, $phi(k)=3^k$ non è isomorfismo". Se $A,B$ sono oggetti algebrici (anelli, gruppi, etc.) l'esistenza di $phi:A to B$ che non è isomorfismo NON implica che $A$ e $B$ non sono isomorfi.
No no intendevo dire che l'isomorfismo che avevo detto non vale più. Poi per mostrare che non sono isomorfi per esempio basta vedere che $(U(A),*)$ contiene un sottogruppo proprio $S$ isomorfo a $ZZ$ ovvero $S={3^k|kinZZ}$ e quindi non possono essere isomorfi altrimenti si avrebbe che $U(A)=S$
Ma il fatto che $U(A)$ contenga un sottogruppo proprio isomorfo a $ZZ$ non implica che $U(A)$ non sia isomorfo a $ZZ$.
Per esempio $2ZZ$ è un sottogruppo proprio di $ZZ$ isomorfo a $ZZ$.
Per esempio $2ZZ$ è un sottogruppo proprio di $ZZ$ isomorfo a $ZZ$.
"Martino":
Ma il fatto che $U(A)$ contenga un sottogruppo proprio isomorfo a $ZZ$ non implica che $U(A)$ non sia isomorfo a $ZZ$.
Per esempio $2ZZ$ è un sottogruppo proprio di $ZZ$ isomorfo a $ZZ$.
Si scusami. Suppongo che esiste un isomorfismo $phi$.Allora si deve avere $phi(1)=0$ (mando l'elemento neutro nell elemento neutro). Per cui $2phi(-1)=phi(1)=0$ e siccome $ZZ$ è dominio necessariamente $phi(-1)=0$ ma allora $phi$ non è iniettiva e dunque non puo essere isomorfismo
Ok adesso va bene.
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