Un problema serio di teoria degli insiemi
Cari amici,
posto un problema serio, una cui risposta affermativa avrebbe sicuramente spazio in una pubblicazione. Se invece la risposta è negativa, ci attacchiamo tutti... io in primis!
Siano
$A_1,B_1$ due insiemi equipotenti ad $\RR$.
$A'\subset A$ equipotente a $B'\subset B$ e finiti.
Denoto con $A_1^n,B_1^n$ rispettivamente i prodotti cartesiani di $A_1$ a $B_1$ n volte, con $n=2,3,...\infty$ (notare che è accettato anche $n=\infty$.
Siano ancora
$A_n\subsetA_1^n$ equipotente a $B_n\subsetB_1^n$ per ogni $n=2,3,...\infty$
$P_n$ e $Q_n$ rispettivamente partizioni di $A_n$ e $B_n$, sempre per $n=2,3,...\infty$ e tali che
1) ogni $P_n$-classe ed ogni $Q_n$ classe è equipotente ad $\RR$
2) $|A_n/P_n|=|B_n/Q_n|=|\RR|$
My question is:
Esistono bijezioni $\phi_n:A_n->B_n$ (per $n=1,2,....\infty$. Notare che questa volta si parte da $n=1$). Tali che
1) $\phi_n$ mappa bijettivamente le $P_n$ classi nelle $Q_n$-classi. (questo per $n=2,3...\infty$)
2) $\phi_n(a_1,a_2,...)=(\phi_1(a_1),\phi_1(a_2)...)$
3) $\phi|_{A'}:A'->B'$ è bijettiva.
Vediamo come va... in caso di controesempi troppo esotici, vi dico le altre ipotesi su cui lavoro...
posto un problema serio, una cui risposta affermativa avrebbe sicuramente spazio in una pubblicazione. Se invece la risposta è negativa, ci attacchiamo tutti... io in primis!
Siano
$A_1,B_1$ due insiemi equipotenti ad $\RR$.
$A'\subset A$ equipotente a $B'\subset B$ e finiti.
Denoto con $A_1^n,B_1^n$ rispettivamente i prodotti cartesiani di $A_1$ a $B_1$ n volte, con $n=2,3,...\infty$ (notare che è accettato anche $n=\infty$.
Siano ancora
$A_n\subsetA_1^n$ equipotente a $B_n\subsetB_1^n$ per ogni $n=2,3,...\infty$
$P_n$ e $Q_n$ rispettivamente partizioni di $A_n$ e $B_n$, sempre per $n=2,3,...\infty$ e tali che
1) ogni $P_n$-classe ed ogni $Q_n$ classe è equipotente ad $\RR$
2) $|A_n/P_n|=|B_n/Q_n|=|\RR|$
My question is:
Esistono bijezioni $\phi_n:A_n->B_n$ (per $n=1,2,....\infty$. Notare che questa volta si parte da $n=1$). Tali che
1) $\phi_n$ mappa bijettivamente le $P_n$ classi nelle $Q_n$-classi. (questo per $n=2,3...\infty$)
2) $\phi_n(a_1,a_2,...)=(\phi_1(a_1),\phi_1(a_2)...)$
3) $\phi|_{A'}:A'->B'$ è bijettiva.
Vediamo come va... in caso di controesempi troppo esotici, vi dico le altre ipotesi su cui lavoro...
Risposte
Domande: $A'\subset A$, $B'\subset B$ intendi forse $A'\subset A_1$ e $B'\subset B_1$?possiamo usare l'assioma della scelta?
Ci provo anche se con un disegnino la cosa è più facile..La prima ipotesi ( per transitività della relazione di equipotenza )ci fornisce una biezione $f: A_1 \rightarrow B_1$. Questa induce biezione $i_A^{-1} f i_B A : \rightarrow B$ dove $i_A$ e $i_B$ inclusioni. Per ogni n definiamo la mappa $f^N:=(f\times...\times f) : A^n \rightarrow B^n$ data da $f^n(a_1,...,a_n)=(f(a_1),...,f(a_n))$ con inversa $(f^n)^{-1}(b_1,...,b_n)=(f^{-1}(b_1),...,f^{-1}(b_n))$. Quindi 2 e 3 sono soddisfatte. Componendo con le inclusioni questa induce biezione $\psi : A_n \rightarrow B_n$. Per il teorema fondamentale delle applicazioni esistono applicazioni suriettive $\alpha_n: A_n \rightarrow \mathbb{R}$, $\beta_n: B_n \rightarrow \mathbb{R}$, proiezioni $\pi_A : A_n \rightarrow A_n/P_n$, $\pi_B : B_n \rightarrow B_n/Q_n$ e biezioni $\alpha_n ' : A_n/P_n \rightarrow \mathbb{R}$ $\beta_n ' : B_n/Q_n \rightarrow \mathbb{R}$ in modo che $\alpha_n=\alpha_n ' \pi_A$ e $\beta_n=\beta_n ' \pi_B$. Si ha che $(\beta_n ')^{-1} \alpha_n '$ induce biezione tra $A_n/P_n$ e $B_n/Q_n$. Il problema che ora sorge è che in generale $\alpha\ne \beta \psi$, l'idea più naturale sarebbe quella di mandare $A_n/P_n ni [x] \rightarrow \pi_A^{-1}(x)\rightarrow \psi(\pi_A^{-1}(x))\rightarrow \pi_B(\psi(\pi_A^{-1}(x)))\in B_n/Q_n$ e questa è sicuramente suriettiva, lo stesso si può fare nell'altro verso però non è detto che componendo si ottiene l'identità sulle classi e quindi il fatto che proprio $\psi $ induce una biezione. Quindi un possibile controesempio potrebbe essere quello di prendere, $A=B$, $A_n=B_n$ ma $Q_n \ne P_n$ oppure $P_n \ne \rho_{\psi}$ e $\Q_n \ne \rho_{\psi^{-1}}$ dove con $\rho_{\psi}$ intendo la partizione indotta dalla funzione $\psi$ cioè $x\tilde y $ se e solo se $\psi(x)=\psi(y)$ . Spero di non aver detto castronerie
Ci provo anche se con un disegnino la cosa è più facile..La prima ipotesi ( per transitività della relazione di equipotenza )ci fornisce una biezione $f: A_1 \rightarrow B_1$. Questa induce biezione $i_A^{-1} f i_B A : \rightarrow B$ dove $i_A$ e $i_B$ inclusioni. Per ogni n definiamo la mappa $f^N:=(f\times...\times f) : A^n \rightarrow B^n$ data da $f^n(a_1,...,a_n)=(f(a_1),...,f(a_n))$ con inversa $(f^n)^{-1}(b_1,...,b_n)=(f^{-1}(b_1),...,f^{-1}(b_n))$. Quindi 2 e 3 sono soddisfatte. Componendo con le inclusioni questa induce biezione $\psi : A_n \rightarrow B_n$. Per il teorema fondamentale delle applicazioni esistono applicazioni suriettive $\alpha_n: A_n \rightarrow \mathbb{R}$, $\beta_n: B_n \rightarrow \mathbb{R}$, proiezioni $\pi_A : A_n \rightarrow A_n/P_n$, $\pi_B : B_n \rightarrow B_n/Q_n$ e biezioni $\alpha_n ' : A_n/P_n \rightarrow \mathbb{R}$ $\beta_n ' : B_n/Q_n \rightarrow \mathbb{R}$ in modo che $\alpha_n=\alpha_n ' \pi_A$ e $\beta_n=\beta_n ' \pi_B$. Si ha che $(\beta_n ')^{-1} \alpha_n '$ induce biezione tra $A_n/P_n$ e $B_n/Q_n$. Il problema che ora sorge è che in generale $\alpha\ne \beta \psi$, l'idea più naturale sarebbe quella di mandare $A_n/P_n ni [x] \rightarrow \pi_A^{-1}(x)\rightarrow \psi(\pi_A^{-1}(x))\rightarrow \pi_B(\psi(\pi_A^{-1}(x)))\in B_n/Q_n$ e questa è sicuramente suriettiva, lo stesso si può fare nell'altro verso però non è detto che componendo si ottiene l'identità sulle classi e quindi il fatto che proprio $\psi $ induce una biezione. Quindi un possibile controesempio potrebbe essere quello di prendere, $A=B$, $A_n=B_n$ ma $Q_n \ne P_n$ oppure $P_n \ne \rho_{\psi}$ e $\Q_n \ne \rho_{\psi^{-1}}$ dove con $\rho_{\psi}$ intendo la partizione indotta dalla funzione $\psi$ cioè $x\tilde y $ se e solo se $\psi(x)=\psi(y)$ . Spero di non aver detto castronerie
"alberto86":
Domande: $A'\subset A$, $B'\subset B$ intendi forse $A'\subset A_1$ e $B'\subset B_1$?possiamo usare l'assioma della scelta?
Ovvio!!!
Ok, nessuna castroneria, ma cosi' dimostri soltanto che la costruzione non e' canonica. Voglio dire: sulla prima biezione $A->B$ abbiamo ampia scelta. Cosi come abbiamo ampia scelta Per le biezioni $\phi_n:A_n->B_n$ che mappano classi in classi. Tocca vedere se esiste una scelta giusta...
e ok io cercavo il controesempio...si potrebbe provare a fare il contrario, cioè partiere dalle biezioni tra le classi e tra gli elementi delle classi e provare a costruire $\phi$, il mio problema è il fatto che ad ogni n il giochino lo riesci a fare però data l'arbitrarietà degli $A_n,B_n,Q_n,P_n$ richiedere che la biezione sia indotta da una sola mappa iniziale mi sembra troppo, ma mi potrei sbagliare. Hai qualche esempio che ti ha suggerito questa cosa e quali altre ipotesi abbiamo?
sembra troppo ma non troppissimo. Soprattutto alla luce delle due seguenti proprieta' di cui mi sono accorto adesso:
1) C'e' una immersione $i:A_n->A_{n+1}$ fatta cosi': per ogni $(a_1,...a_n)\in A_n$ esiste (in generale non e' unico!) $a_{n+1}\in A_1$ tale che $(a_1,a_2,...a_{n+1})\in A_{n+1}$. E' una cosa simile vale anche per $n=\infty$, nel senso che ogni elemento in $A_n$ e' completabile in maniera da ottenere un elemento in $A_{\infty}$
2) C'e' una immersione anche al livello delle partizioni. Voglio dire che
se $(a_1,...a_n)P_n(a_1',...a_n')$ allora esiste $a_{n+1}\in A_1$ tale che $(a_1,...a_{n+1})P_{n+1}(a_1',...a_{n+1}').
Cosa simile vale all'infinito, nello stesso senso del punto precedente.
Ovviamente le stesse proprieta' sono soddisfatte anche dalla parte degli $B$
1) C'e' una immersione $i:A_n->A_{n+1}$ fatta cosi': per ogni $(a_1,...a_n)\in A_n$ esiste (in generale non e' unico!) $a_{n+1}\in A_1$ tale che $(a_1,a_2,...a_{n+1})\in A_{n+1}$. E' una cosa simile vale anche per $n=\infty$, nel senso che ogni elemento in $A_n$ e' completabile in maniera da ottenere un elemento in $A_{\infty}$
2) C'e' una immersione anche al livello delle partizioni. Voglio dire che
se $(a_1,...a_n)P_n(a_1',...a_n')$ allora esiste $a_{n+1}\in A_1$ tale che $(a_1,...a_{n+1})P_{n+1}(a_1',...a_{n+1}').
Cosa simile vale all'infinito, nello stesso senso del punto precedente.
Ovviamente le stesse proprieta' sono soddisfatte anche dalla parte degli $B$
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