Un problema che mi disturba ormai da giorni
Salve, sono un po' di giorni che ci penso, ma non riesco a trovare un metodo per risolvere questo problema:
Dimostrare che An è l'unico sottogruppo di Sn di cardinalità $(n!)/2$ (non si può usare la semplicità di An)
Dimostrare che An è l'unico sottogruppo di Sn di cardinalità $(n!)/2$ (non si può usare la semplicità di An)
Risposte
La parte difficile è mostrare che $A_n$ è generato da $Q = \{x^2\ :\ x \in S_n\}$ (l'insieme dei quadrati degli elementi di $S_n$). Prova. Fatto questo il resto è facile.
Questo lo so fare, per n>2 basta vedere che i tricicli sono tutti inclusi nell'insieme dei quadrati ed i tricicli generano An.
Non riesco ancora a capire come puoi chiudere arrivato a questo punto.
Non riesco ancora a capire come puoi chiudere arrivato a questo punto.
Adesso è facile: prendi un sottogruppo H di indice 2. Allora è normale. Quindi $x^2 \in H$ per ogni $x \in S_n$. Sai continuare?
Credo quindi che ora tu voglia dire che $H=Q$ , ma $Q$ genera An. Sbaglio?
Voglio dire che per quello che ho scritto si ha $Q \subseteq H$, quindi anche il sottogruppo generato da $Q$ è contenuto in $H$.
Sì, scusa ho sbagliato a mettere l'uguaglianza, ti ringrazio.
Prego 
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