Un Polinomio in $\mathbb Z_{/p}$
Salve a tutti, sto avendo difficoltà con il seguente problema
Sono riuscito a mostrare l'implicazione $(\Leftarrow)$ in una maniera che non richiede troppi calcoli:
osservo che
$$(x^m-1)(x^{2m+1}+x^{m+1}+x)=(x^{3m+1}-x)=x^p-x = \prod_{\alpha \in \mathbb F_p} (x-\alpha)$$
Per cui ogni elemento $\alpha\in \mathbb F_p$ è radice di $g(x-1)$ o di $f(x)$ e non può esserlo contemporaneamente di entrambi.
Osservo che essere radice di $f(x)$ equivale ad appartenere al sottogruppo di ordine $m$ di $\mathbb F_p^\star$ che chiamo $H_m$, allora costruisco questo sottogruppo nel caso $p =7$ e $p=13$:
- Nel caso $p=7$ si ha
$$H_m = \{-1, 1\}$$
- Nel caso $p=13$ si ha
$$H_m = \{-1,5,8,1\}$$
Osservo che in questi casi non ci sono elementi consecutivi in $H_m$ per cui se $\alpha$ è radice di $f(x)$ allora $\alpha +1$ non lo è, quindi per quanto visto prima $\alpha+1$ è radice di $g(x-1)$ quidni $\alpha$ è radice di $g(x)$. Cioè tutte le radici di $f(x)$ sono anche radici si $g(x)$ per cui $f | g$
come ho detto sopra questo mostra l'implicazione $( \Leftarrow ) $ e ci fornisce anche una scrittura equivalente dell'altra implicazione:
Mostrare che $H_m\le \mathbb F_p^\star$ contiene almeno due elementi consecutivi per $p > 13$
oppure
Mostrare che $(x+1)^m-1$ e $x^m-1$ non sono coprimi in $\mathbb F_p$ per $p> 13$
da qui onestamente non so come andare avanti
Siano
$p = 3m +1$ un numero primo
$g(x) = (x+1)^{2m+1} + (x+1)^{m+1}+(x+1)$
$f(x)= x^m-1$
[/list:u:jylszdnm]
Mostrare che $f$ divide $g$ in $\mathbb F_p[x]$ se e solo se $p= 7$ o $p=13$
Sono riuscito a mostrare l'implicazione $(\Leftarrow)$ in una maniera che non richiede troppi calcoli:
osservo che
$$(x^m-1)(x^{2m+1}+x^{m+1}+x)=(x^{3m+1}-x)=x^p-x = \prod_{\alpha \in \mathbb F_p} (x-\alpha)$$
Per cui ogni elemento $\alpha\in \mathbb F_p$ è radice di $g(x-1)$ o di $f(x)$ e non può esserlo contemporaneamente di entrambi.
Osservo che essere radice di $f(x)$ equivale ad appartenere al sottogruppo di ordine $m$ di $\mathbb F_p^\star$ che chiamo $H_m$, allora costruisco questo sottogruppo nel caso $p =7$ e $p=13$:
- Nel caso $p=7$ si ha
$$H_m = \{-1, 1\}$$
- Nel caso $p=13$ si ha
$$H_m = \{-1,5,8,1\}$$
Osservo che in questi casi non ci sono elementi consecutivi in $H_m$ per cui se $\alpha$ è radice di $f(x)$ allora $\alpha +1$ non lo è, quindi per quanto visto prima $\alpha+1$ è radice di $g(x-1)$ quidni $\alpha$ è radice di $g(x)$. Cioè tutte le radici di $f(x)$ sono anche radici si $g(x)$ per cui $f | g$
come ho detto sopra questo mostra l'implicazione $( \Leftarrow ) $ e ci fornisce anche una scrittura equivalente dell'altra implicazione:
Mostrare che $H_m\le \mathbb F_p^\star$ contiene almeno due elementi consecutivi per $p > 13$
oppure
Mostrare che $(x+1)^m-1$ e $x^m-1$ non sono coprimi in $\mathbb F_p$ per $p> 13$
da qui onestamente non so come andare avanti
Risposte
E' un'applicazione del bound di Hasse-Weil, lo conosci?
No.
$H_m$ è il sottogruppo dei cubi non nulli di $\mathbb F_p$, quindi devi dimostrare che esistono $x,y\in \mathbb F_p$ entrambi non nulli tali che $x^3=y^3+1$. Questa equazione definisce una curva ellittica $E$ su $\mathbb F_p$ e il bound di Hasse Weil dice che se $N_p$ è il numero di punti di $E$ allora $|N_p-(p+1)|\le 2\sqrt{p}$. Ora ti basta verificare che per $p>13$ $N_p$ è grande abbastanza.
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