Un piccolo problema sugli elementi algebrici di grado dispari
Buonasera a tutti,
stavo cercando di risolvere il seguente problema:
Sul fatto che $K(\alpha^2) \subset K(\alpha)$ non ci piove perché $\alpha^2 in K(\alpha)$ in quanto $K(\alpha)$ è un campo che contiene $\alpha$.
Passiamo alla seconda inclusione: $K(\alpha) \subset K(\alpha^2)$, ecco qui inizio ad avere problemi: non riesco ad utilizzare l'ipotesi sul grado dispari di $\alpha$! Non mi sembra un problema complesso, quindi sicuramente c'è qualcosa che mi sto perdendo.
Forse sto anche sbagliando strada, alternativamente avevo pensato di considerare $K(\alpha), K(\alpha^2)$ come spazi vettoriali su $K$ e giocare sulle dimensioni(e quindi sui gradi delle estensioni).
Avete qualche suggerimento?
Abbiate pazienza, è la prima volta che mi approccio all'Algebra astratta
.
Grazie.
stavo cercando di risolvere il seguente problema:
Sia $K \subset L$ una estensione di campi. Sia $\alpha \in L$ un elemento algebrico su $K$ di grado dispari. Dimostrare che $K(\alpha^2) = K(\alpha)$.
Sul fatto che $K(\alpha^2) \subset K(\alpha)$ non ci piove perché $\alpha^2 in K(\alpha)$ in quanto $K(\alpha)$ è un campo che contiene $\alpha$.
Passiamo alla seconda inclusione: $K(\alpha) \subset K(\alpha^2)$, ecco qui inizio ad avere problemi: non riesco ad utilizzare l'ipotesi sul grado dispari di $\alpha$! Non mi sembra un problema complesso, quindi sicuramente c'è qualcosa che mi sto perdendo.
Forse sto anche sbagliando strada, alternativamente avevo pensato di considerare $K(\alpha), K(\alpha^2)$ come spazi vettoriali su $K$ e giocare sulle dimensioni(e quindi sui gradi delle estensioni).
Avete qualche suggerimento?
Abbiate pazienza, è la prima volta che mi approccio all'Algebra astratta
.Grazie.
Risposte
Quanto e', al massimo, il grado di $K(\alpha)$ su $K(\alpha^2)$?
In altre parole, esiste un polinomio "ovvio" di grado basso (facciamo $2$) a coefficienti in $K(\alpha^2)$ che ha come radice $\alpha$?
Perche' questo polinomio non puo' essere il polinomio minimo? Come concludiamo?
In altre parole, esiste un polinomio "ovvio" di grado basso (facciamo $2$) a coefficienti in $K(\alpha^2)$ che ha come radice $\alpha$?
Perche' questo polinomio non puo' essere il polinomio minimo? Come concludiamo?
Ciao 
Grazie per la risposta!
Allora certamente $p(x) = x^2 - \alpha^2 \in K(\alpha^2)[x]$ si annulla in $\alpha$ però non può essere il polinomio minimo perché $\alpha$ è un elemento algebrico di grado dispari, cioè se $p(x)$ fosse il polinomio minimo allora dato che $K \subset K(\alpha^2) \subset K(\alpha)$: $[K(\alpha) : K] = 2k+1 \iff [K(\alpha) : K(\alpha^2)][K(\alpha^2):K] = \alpha \iff 2t = 2k+1$, assurdo. Quindi suppongo che il grado del polinomio minimo debba essere minore di $2$ e l'unica possibilità è $x-\alpha$ ma questo implica che $\alpha \in K(\alpha^2)$ e quindi $K(\alpha) \subset K(\alpha^2) => K(\alpha^2) = K(\alpha)$.
E' corretto come ragionamento?
Ciao!
Grazie per la risposta!
Allora certamente $p(x) = x^2 - \alpha^2 \in K(\alpha^2)[x]$ si annulla in $\alpha$ però non può essere il polinomio minimo perché $\alpha$ è un elemento algebrico di grado dispari, cioè se $p(x)$ fosse il polinomio minimo allora dato che $K \subset K(\alpha^2) \subset K(\alpha)$: $[K(\alpha) : K] = 2k+1 \iff [K(\alpha) : K(\alpha^2)][K(\alpha^2):K] = \alpha \iff 2t = 2k+1$, assurdo. Quindi suppongo che il grado del polinomio minimo debba essere minore di $2$ e l'unica possibilità è $x-\alpha$ ma questo implica che $\alpha \in K(\alpha^2)$ e quindi $K(\alpha) \subset K(\alpha^2) => K(\alpha^2) = K(\alpha)$.
E' corretto come ragionamento?
Ciao!
Esattamente quello che avevo in mente io.
Grazie! 
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