Un paio di esercizi su sylow

[perplesso1]

Salve a tutti, sto cercando di imparare questi teoremi di sylow, se qualcuno mi da un parere su questi esercizi che ho fatto riceverà in cambio tanta gratitudine

1) Sia $ G $ un gruppo e $ H $ un sottogruppo normale. Sia $ P $ un p-sylow di $ G $, mostrare che $ P \cap H $ è un p-sylow di $ H $.

Sia $ K_H $ un p-sylow di $ H $, allora esiste un p-sylow $ K <= G $ tale che $ K_H <= K $ e ovviamente $ K \cap H = K_H $ . Poichè $ P $ è un p-sylow di $ G $ per il secondo teorema di Sylow esiste $ g \in G $ tale che $ P=K^g $ , allora $ P \cap H = K^{g} \cap H = K^{g} \cap H^{g} = (K \cap H)^{g} = K_H^g $ e $ P \cap H $ è un p-sylow di $ H $

2) Sia $ G $ un gruppo e $ H $ un sottogruppo normale. Sia $ P $ un p-sylow di $ G $ mostrare che $ {PH}/H $ è un p-sylow di $ G/H $

Allora... $ |{PH}/H|= (|P||H|)/(|H||H \cap P|)=|P|/|H \cap P| $ che è una potenza di p e pertanto $ {PH}/H $ è un p-gruppo. Bisogna dimostrare che è massimale. Siccome $ P $ è massimale allora p non divide $ |G|/|P| $ e a maggior ragione non divide $ (|G/H|)/(|{PH}/H|) = (|G|/|H|)(|H \cap P|/|P|)= (|G|/|P|)/(|H|/|H \cap P|) $ Pertanto $ {PH}/H $ è massimale.

[Studente Anonimo]

Giusti.

[perplesso1]

Tanta gratitudine.