Un nuovo insieme di congetture e problemi aperti...
Salve a tutti,
Propongo una serie di quesiti relativi a un paper che ho scritto tempo fa (l'ho uppato su Scribd, spero che la cosa non crei inconvenienti e che sia conforme al regolamento - in caso contrario prego i mods di rimuovere tutto quanto):
http://www.scribd.com/doc/51184856/Patt ... ty-Problem
Per tutte le definizioni (e le locuzioni create “ad hoc” come “permutazioni circolari”) rimando al suddetto paper.
Sono costretto a fare così, per via delle svariate pagine che una descrizione ex-novo dell'argomento richiederebbe.
1- Consideriamo la sequenza A007908 della OEIS: http://oeis.org/search?q=A007908&langua ... &go=Search.
Dimostrare che, se ogni termine della sottosequenza definita dalle permutazioni circolari dei numeri concatenati che la compongono è divisibile per un qualsiasi primo non coprimo a 10, allora lo sono anche tutti i termini della sequenza estesa alle permutazioni circolari delle sue cifre. Come unico (palese) vincolo, imponiamo che gli elementi da considerare siano composti da oltre 9 cifre (altrimenti le sottosequenze coincidono).
2- Data la sequenza consecutiva A007908 (http://oeis.org/search?q=A007908&langua ... &go=Search), sia C1 il sottoinsieme degli elementi tra 1 e 123456789 (estremi inclusi), C2 il sottoinsieme di quelli tra 12345678910 e 123…99, ecc. Consideriamo ora i numeri primi che dividono ciascun sottoinsieme Cn,
per esempio n=1⤇[tex]\{3\}[/tex], n=2⤇[tex]\{3,37\}[/tex], n=3⤇[tex]\{3,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,53,61,67,73,83,97,101,107,127,[/tex]
[tex]\ 163,211,271,277,1009, 18973\}[/tex], ecc.
Esplicitare la forma generica dell’insieme dei primi ≥7 i quali dividono (almeno) tutti gli elementi dell’insieme delle permutazioni circolari delle cifre di un elemento di Cn, per un dato valore di n.
Ovviamente ci sono primi, come il 2 e il 5, che non li dividono, mentre, [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex], l’insieme contiene il numero primo 3.
Ad esempio, il 7 divide 123…100, 234…1001, 345…10012, ecc. Cosa succede per n≥4?
3- Congettura: Se n≥2, ogni Cn ha, almeno, un fattore primo ≥7 che divide l’intero insieme delle permutazioni circolari di un suo elemento.
4- Domanda: Per [tex]\ n \rightarrow \infty[/tex], l’insieme dei numeri primi siffatti convergerà all’intero insieme dei primi ≥7 o no?
5- Congettura (per la nomenclatura cfr. Definizione 1 http://www.scribd.com/doc/51184856/Patt ... ty-Problem): Dato uno specifico fattore primo [tex]\ 7\le pr < \sqrt{a_j}[/tex], dove [tex]a_j := \ (r=n, p=i)[/tex], con l’intero insieme dei numeri caratterizzati da p ed r formati da un quantitativo fisso di cifre, se [tex]a_j[/tex] è divisibile per pr, anche [tex]a_\bar{j}[/tex][tex]:= \ (r=n+q, p=i+k)[/tex] lo sarà.
6- Domanda: Se la congettura precedente è vera, la lunghezza in cifre di r e p sarà la stessa (e quindi q=k)?
Congettura: Sì, è la stessa.
7- Domanda: Dato [tex]a_j[/tex] e definendo come “d(p)” la lunghezza in cifre di p, se d(p) è (strettamente) minore di d(r) - la lunghezza in cifre di r -, il numero naturale q associato a ogni [tex]\tilde{r}[/tex] tale che [tex]\ 10^{d(p)-1} \le \tilde{r} \le 10^{d(p)}-1[/tex] sarà uguale a k?
Congettura: Sì, lo sarà.
8- Domanda: Siano d(r) e d(p) fisse. [tex]\forall pr<9*10^{d(r)-1}[/tex], q e k (se esiste) sono multipli di p?
Congettura: Sì, [tex]q:=pr*t[/tex] e [tex]k:=pr*s[/tex], dove [tex]\{t,s\} \in \mathbb{N}-\{0\}[/tex].
Propongo una serie di quesiti relativi a un paper che ho scritto tempo fa (l'ho uppato su Scribd, spero che la cosa non crei inconvenienti e che sia conforme al regolamento - in caso contrario prego i mods di rimuovere tutto quanto):
http://www.scribd.com/doc/51184856/Patt ... ty-Problem
Per tutte le definizioni (e le locuzioni create “ad hoc” come “permutazioni circolari”) rimando al suddetto paper.
Sono costretto a fare così, per via delle svariate pagine che una descrizione ex-novo dell'argomento richiederebbe.
1- Consideriamo la sequenza A007908 della OEIS: http://oeis.org/search?q=A007908&langua ... &go=Search.
Dimostrare che, se ogni termine della sottosequenza definita dalle permutazioni circolari dei numeri concatenati che la compongono è divisibile per un qualsiasi primo non coprimo a 10, allora lo sono anche tutti i termini della sequenza estesa alle permutazioni circolari delle sue cifre. Come unico (palese) vincolo, imponiamo che gli elementi da considerare siano composti da oltre 9 cifre (altrimenti le sottosequenze coincidono).
2- Data la sequenza consecutiva A007908 (http://oeis.org/search?q=A007908&langua ... &go=Search), sia C1 il sottoinsieme degli elementi tra 1 e 123456789 (estremi inclusi), C2 il sottoinsieme di quelli tra 12345678910 e 123…99, ecc. Consideriamo ora i numeri primi che dividono ciascun sottoinsieme Cn,
per esempio n=1⤇[tex]\{3\}[/tex], n=2⤇[tex]\{3,37\}[/tex], n=3⤇[tex]\{3,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,53,61,67,73,83,97,101,107,127,[/tex]
[tex]\ 163,211,271,277,1009, 18973\}[/tex], ecc.
Esplicitare la forma generica dell’insieme dei primi ≥7 i quali dividono (almeno) tutti gli elementi dell’insieme delle permutazioni circolari delle cifre di un elemento di Cn, per un dato valore di n.
Ovviamente ci sono primi, come il 2 e il 5, che non li dividono, mentre, [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex], l’insieme contiene il numero primo 3.
Ad esempio, il 7 divide 123…100, 234…1001, 345…10012, ecc. Cosa succede per n≥4?
3- Congettura: Se n≥2, ogni Cn ha, almeno, un fattore primo ≥7 che divide l’intero insieme delle permutazioni circolari di un suo elemento.
4- Domanda: Per [tex]\ n \rightarrow \infty[/tex], l’insieme dei numeri primi siffatti convergerà all’intero insieme dei primi ≥7 o no?
5- Congettura (per la nomenclatura cfr. Definizione 1 http://www.scribd.com/doc/51184856/Patt ... ty-Problem): Dato uno specifico fattore primo [tex]\ 7\le pr < \sqrt{a_j}[/tex], dove [tex]a_j := \ (r=n, p=i)[/tex], con l’intero insieme dei numeri caratterizzati da p ed r formati da un quantitativo fisso di cifre, se [tex]a_j[/tex] è divisibile per pr, anche [tex]a_\bar{j}[/tex][tex]:= \ (r=n+q, p=i+k)[/tex] lo sarà.
6- Domanda: Se la congettura precedente è vera, la lunghezza in cifre di r e p sarà la stessa (e quindi q=k)?
Congettura: Sì, è la stessa.
7- Domanda: Dato [tex]a_j[/tex] e definendo come “d(p)” la lunghezza in cifre di p, se d(p) è (strettamente) minore di d(r) - la lunghezza in cifre di r -, il numero naturale q associato a ogni [tex]\tilde{r}[/tex] tale che [tex]\ 10^{d(p)-1} \le \tilde{r} \le 10^{d(p)}-1[/tex] sarà uguale a k?
Congettura: Sì, lo sarà.
8- Domanda: Siano d(r) e d(p) fisse. [tex]\forall pr<9*10^{d(r)-1}[/tex], q e k (se esiste) sono multipli di p?
Congettura: Sì, [tex]q:=pr*t[/tex] e [tex]k:=pr*s[/tex], dove [tex]\{t,s\} \in \mathbb{N}-\{0\}[/tex].
Risposte
P.S.
E' possibile che sussistano dei piccoli refusi a livello formale (nomenclatura et similia). Confido tuttavia nel fatto che i concetti espressi siano chiari e non equivoci e che i risultati possano essere di un qualche interesse per gli appassionati di teoria dei numeri e di matematica ricreativa.
E' possibile che sussistano dei piccoli refusi a livello formale (nomenclatura et similia). Confido tuttavia nel fatto che i concetti espressi siano chiari e non equivoci e che i risultati possano essere di un qualche interesse per gli appassionati di teoria dei numeri e di matematica ricreativa.
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