Un numero quadrato il cui triplo è ancora un quadrato

[davikokar]

Ciao,

sto cercando un numero quadrato il cui triplo è ancora un quadrato (4,9,16...). MA non so come definire in un'equazione il fatto che il numero sia un quadrato ? Suggerimenti ? Grazie

[Epimenide93]

\(\displaystyle \exists a \,, \ b \in \mathbb{N} : \ 3 \cdot a^2 = b^2 \)

Quando hai finito con l'esercizio sarebbe carino che tu proponessi anche le conclusioni cui sei giunto

[superpippone]

Secondo me non esiste un quadrato il cui triplo sia ancora un quadrato.
$sqrt(3x^2)=xsqrt3$

[davikokar]

sì, credo che superpippone (bel nome tra l'altro) abbia ragione. Infatti non esiste un numero intero che moltiplicato per radice di tre sia ancora intero.

[Epimenide93]

"davikokar":non esiste un numero intero che moltiplicato per radice di tre sia ancora intero.

Se dovessi dimostrarlo [strike]senza scomodare i mostri[/strike] rimanendo nell'insieme dei numeri naturali come procederesti?

[kobeilprofeta]

Se $3n^2$ è un quadrato perfetto, allora la sua fattorizzazione (da notare in $NN$) è un prodotto di soli quadrati perfetti. Quindi ogni numero primo deve essere presente nella fattorizzazione un numero pari di volte. $n^2$, essendo un quadrato perfetto, avrà $2*k_1$ fattori primi $p_1$, $2*k_2$ fattori primi $p_2$,etc...
Quindi avra $2k$ volte (con $k in NN$, puó anche ovviamente valere 0) il fattore primo "$3$" nella scomposizione. Dato che $3n^2$ ne dovrà avere $2k+1$ non puó essere un quadrato per quanto detto sopra.

[Epimenide93]

"kobeilprofeta":Se $3n^2$ è un quadrato perfetto, allora la sua fattorizzazione (da notare in $NN$) è un prodotto di soli quadrati perfetti. Quindi ogni numero primo deve essere presente nella fattorizzazione un numero pari di volte. $n^2$, essendo un quadrato perfetto, avrà $2*k_1$ fattori primi $p_1$, $2*k_2$ fattori primi $p_2$,etc...
Quindi avra $2k$ volte (con $k in NN$, puó anche ovviamente valere 0) il fattore primo "$3$" nella scomposizione. Dato che $3n^2$ ne dovrà avere $2k+1$ non puó essere un quadrato per quanto detto sopra.

Ottimo

[gio73]

d'accordo ma $n!=0$, o sì?

[kobeilprofeta]

Credo che per parlare di fattorizzazione si debba lavorare con gli interi positivi.