Un gruppo di ordine $2n$ ha sempre un elemento di ordine $2$.
Buona sera a tutti, ho risolto questo esercizio e vorrei verificare che effettivamente la soluzione sia corretta.
Dimostrare che un gruppo di ordine pari ha sempre un elemento di ordine 2.
Riporto la mia soluzione:
Supponiamo che sia $|G|=2n$ un elemento di G sarà ovviamente l'identità $1$. Quindi in G mi restano esattamente $2n-1$ elementi. Supponiamo ora per assurdo che non esistano $g$ appartenenti a $G$ tali che $g^2=1$. Allora $o(g)>2$ per ogni $g!=1$. Associo ora allora ad ogni g il suo inverso. Avrò allora:
$g_1->(g_1)^-1$
$g_2->(g_2)^-1$
$..$
$..$
$g_i->(g_i)^-1 $
Ci si rende subito conto allora che otterrò comunque un numero pari di elementi dal momento che stiamo supponendo $g_i!=(g_i)^-1$. Ma a noi erano rimasti un numero dispari di elementi appartenenti a $G$. D'altro canto presi due elementi $a$ e $b$ con $a!=b$ non può neanche essere $a^-1=b^-1$ dal momento che implicherebbe $(a^-1)^-1=(b^-1)^-1$ ossia $a=b$ (Questo è il passaggio che non mi convince). Siamo giunti allora ad una contraddizione, poiché partendo da un numero dispari di elementi rimanenti siamo arrivati ad un numero pari di elementi rimanenti.
Dunque deve esistere necessariamente un elemento di ordine 2.
Grazie a tutti.
Dimostrare che un gruppo di ordine pari ha sempre un elemento di ordine 2.
Riporto la mia soluzione:
Supponiamo che sia $|G|=2n$ un elemento di G sarà ovviamente l'identità $1$. Quindi in G mi restano esattamente $2n-1$ elementi. Supponiamo ora per assurdo che non esistano $g$ appartenenti a $G$ tali che $g^2=1$. Allora $o(g)>2$ per ogni $g!=1$. Associo ora allora ad ogni g il suo inverso. Avrò allora:
$g_1->(g_1)^-1$
$g_2->(g_2)^-1$
$..$
$..$
$g_i->(g_i)^-1 $
Ci si rende subito conto allora che otterrò comunque un numero pari di elementi dal momento che stiamo supponendo $g_i!=(g_i)^-1$. Ma a noi erano rimasti un numero dispari di elementi appartenenti a $G$. D'altro canto presi due elementi $a$ e $b$ con $a!=b$ non può neanche essere $a^-1=b^-1$ dal momento che implicherebbe $(a^-1)^-1=(b^-1)^-1$ ossia $a=b$ (Questo è il passaggio che non mi convince). Siamo giunti allora ad una contraddizione, poiché partendo da un numero dispari di elementi rimanenti siamo arrivati ad un numero pari di elementi rimanenti.
Dunque deve esistere necessariamente un elemento di ordine 2.
Grazie a tutti.
Risposte
"JellyBean22":
Buona sera a tutti, ho risolto questo esercizio e vorrei verificare che effettivamente la soluzione sia corretta.
Dimostrare che un gruppo di ordine pari ha sempre un elemento di ordine 2.
Riporto la mia soluzione:
Supponiamo che sia $|G|=2n$ un elemento di G sarà ovviamente l'identità $1$. Quindi in G mi restano esattamente $2n-1$ elementi. Supponiamo ora per assurdo che non esistano $g$ appartenenti a $G$ tali che $g^2=1$. Allora $o(g)>2$ per ogni $g!=1$. Associo ora allora ad ogni g il suo inverso. Avrò allora:
$g_1->(g_1)^-1$
$g_2->(g_2)^-1$
$..$
$..$
$g_i->(g_i)^-1 $
Ci si rende subito conto allora che otterrò comunque un numero pari di elementi dal momento che stiamo supponendo $g_i!=(g_i)^-1$. Ma a noi erano rimasti un numero dispari di elementi appartenenti a $G$. D'altro canto presi due elementi $a$ e $b$ con $a!=b$ non può neanche essere $a^-1=b^-1$ dal momento che implicherebbe $(a^-1)^-1=(b^-1)^-1$ ossia $a=b$ (Questo è il passaggio che non mi convince). Siamo giunti allora ad una contraddizione, poiché partendo da un numero dispari di elementi rimanenti siamo arrivati ad un numero pari di elementi rimanenti.
Dunque deve esistere necessariamente un elemento di ordine 2.
Grazie a tutti.
Non mi sembra corretto. Se ho ben capito, gli elementi \(\displaystyle g_i \) sono tutti gli elementi diversi da \(\displaystyle 1 \) del gruppo, e quindi sono esattamente \(\displaystyle 2n-1 \). I loro inversi sono \(\displaystyle 2n-1 \) elementi distinti e diversi da \(\displaystyle 1 \), e quindi sono gli stessi \(\displaystyle 2n-1 \) elementi da cui sei partito. Tu conti il numero di elementi nel dominio e nel codominio (che sono in tutto \(\displaystyle 4n-2 \) ma questi non sono distinti, ogni elemento nel dominio è anche l'immagine di esattamente un elemento nel dominio; quello che devi dimostrare è che qualche elemento viene mandato in se stesso.
L'idea comunque può funzionare se modifichi leggermente il ragionamento. Prendi i \(\displaystyle 2n-1 \) elementi diversi da \(\displaystyle 1 \), e supponi per assurdo che ogni elemento sia differente dal suo inverso. Ordina allora i \(\displaystyle g\in G\setminus \{1\} \) in modo che \(\displaystyle g_i \) e \(\displaystyle g_{2n-i} \) siano inversi. Allora chi è l'inverso di \(\displaystyle g_n \) ?
Io per i vari g intendevo sia i $g_i$ che i $(g_i)^-1$ non solamente i $g_i$. Seguendo il tuo ragionamento avrei che l'inverso di $g_n$ sarebbe $g_n$ stesso, giusto? E quindi avrei finito. Non ho capito tuttavia la dinamica del ragionamento 
. E inoltre non ho ben compreso il punto debole della soluzione da me data 
.
Grazie dell'aiuto
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. E inoltre non ho ben compreso il punto debole della soluzione da me data .Grazie dell'aiuto
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"JellyBean22":
Io per i vari g intendevo sia i $g_i$ che i $(g_i)^-1$ non solamente i $g_i$. Seguendo il tuo ragionamento avrei che l'inverso di $g_n$ sarebbe $g_n$ stesso, giusto? E quindi avrei finito. Non ho capito tuttavia la dinamica del ragionamento
Grazie dell'aiuto
nella tua soluzione, cosa intendi quando dici che ottieni un numero pari di elementi?
Provo a spiegarmi meglio: siccome l'identità appartiene a G allora mi restano 2n-1 elementi. Se per assurdo non ce ne fosse alcuno di ordine 2. Allora in quei 2n-1 elementi ho ciascun g ed il suo inverso. Se provo a contarli, considerando per ogni g il suo inverso, ottengo un numero pari di elementi cioé un 2n di elementi. Ma questo è assurdo perché a me restavano 2n-1 elementi, questo implica che deve esistere necessariamente un elemento di ordine 2.
Grazie ancora.
Grazie ancora
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"JellyBean22":
Provo a spiegarmi meglio: siccome l'identità appartiene a G allora mi restano 2n-1 elementi. Se per assurdo non ce ne fosse alcuno di ordine 2. Allora in quei 2n-1 elementi ho ciascun g ed il suo inverso. Se provo a contarli, considerando per ogni g il suo inverso, ottengo un numero pari di elementi cioé un 2n di elementi. Ma questo è assurdo perché a me restavano 2n-1 elementi, questo implica che deve esistere necessariamente un elemento di ordine 2.
Grazie ancora
ma perchè dovresti ottenere \(\displaystyle 2n \) elementi?
Perché sto supponendo che non esistano elementi di ordine 2. Quindi $g!=g^-1$ per ogni g in G. In particolare la struttura di gruppo implica che ogni elemento abbia il suo inverso. Quindi se ho n elementi, avrò n inversi e quindi 2n elementi.
**: ovviamente per 2n sto dicendo solo che saranno un numero pari di elementi.
**: ovviamente per 2n sto dicendo solo che saranno un numero pari di elementi.
Ora è chiaro, non mi tornava il \(\displaystyle 2n \). Allora se guardi bene la tua soluzione è identica alla mia
Si, hai ragione 
. Grazie del confronto 
. Grazie del confronto
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