Un gruppo con ordine primo è ciclico

[anti-spells]

Salve, qualcuno può dimostrarmi questa affermazione? Non capisco che supposizioni devo fare

Grazie

[luca691]

Dato $g \in G$, $g \ne e$, è $<> \le G$ (chiusura e inversi). In particolare, se $|G|=p$, con $p$ primo, allora (Lagrange) $|<>|=p$ e quindi $G=<>$.

[anti-spells]

Grazie, scusa se rispondo solo ora ma sto studiando per diversi esami e a volte mi dimentico..
Non ci avevo pensato di mostrare che $ <= G$ , grazie per l'aiuto.
Se riuscissi a darmi una dritta anche per questo:
$f:G \to H$ omomorfismo di gruppi, mostrare che:
se $N<=H$ (stgr normale) allora $f^(-1)(N)<=G$ (stgr normale)
se $M<=G$ (stgr normale) allora non è detto che $f(M)<=H$ (stgr normale)

Mi basta un consiglio, non voglio la soluzione, grazie

EDIT: Forse così è corretto (?):
Siano $ain f^(-1)(N) rarr f(a) in N$ e $b,b^(-1) in G rarr f(b), f(b^(-1)) in H$
allora $f(bab^(-1)) = f(b)f(a)(f(a))^(-1) in N rarr bab^(-1) in f^(-1)(N) rarr f^(-1)(N)<=G$ (strg normale)

non mi convince

[luca691]

Prendilo sub judice perchè sono solo un autodidatta, ma a me il tuo EDIT sembra corretto (a parte il refuso qui

"anti-spells":$ f(bab^(-1)) = f(b)f(a)(f(a))^(-1)$

con $a$ al posto di $b$).

Ciao

[luca691]

Per il secondo punto, considera che $M$ normale in $G \Rightarrow \forall g \in G, forall m \in M, \exists m' \in M$ tale che $g^(-1)mg=m'$, da cui $(f(g))^(-1)f(m)f(g)=f(m')$: questo significa che $f(M)$ è normale in $H$ solo se...

[anti-spells]

Solo se H è abeliano?

[luca691]

Io avevo in mente solo se $f$ è suriettivo, ma il mio hint in realtà porta soltanto a dire che $f(M) ⊴ f(G)$ e quindi che $f$ suriettivo $\Rightarrow f(M) ⊴ H$, che è altra cosa rispetto a quello che ti si chiede. Per dimostrare la mia idea dovrei far vedere che, $\exists \tilde h \in H \setminus f(G) \Rightarrow \exists \hat h \in H|f(M)\hat h \ne \hat hf(M)$, ma per ora non ci sono riuscito...

[otta96]

"anti-spells":$f:G \to H$ omomorfismo di gruppi, mostrare che:
se $N<=H$ (stgr normale) allora $f^(-1)(N)<=G$ (stgr normale)

Come l'hai dimostrato nell'edit va bene.

se $M<=G$ (stgr normale) allora non è detto che $f(M)<=H$ (stgr normale)

Prova ad immergere un sottogruppo non banale e proprio di un gruppo semplice nel gruppo.

[anti-spells]

"otta96":[quote="anti-spells"]$f:G \to H$ omomorfismo di gruppi, mostrare che:
se $N<=H$ (stgr normale) allora $f^(-1)(N)<=G$ (stgr normale)

Come l'hai dimostrato nell'edit va bene.

se $M<=G$ (stgr normale) allora non è detto che $f(M)<=H$ (stgr normale)

Prova ad immergere un sottogruppo non banale e proprio di un gruppo semplice nel gruppo.[/quote]

Questa cosa serve per capire o è la soluzione? Perché "immersioni" non le abbiamo mai viste

[otta96]

"anti-spells":Questa cosa serve per capire o è la soluzione?

Un po' tutt'eddue

Perché "immersioni" non le abbiamo mai viste

Mi sembra strano, magari le avete chiamate in un altro modo (forse inclusioni) ma è semplicemente, dati un insieme $X$ e un suo sottoinsieme $Y$, la funzione $i:Y\toX$ tale che $i(x)=xAAx\inY$, che è iniettiva. Nel caso $X$ sia un gruppo e $Y$ sia un sottogruppo l'immersione è anche un omomorfismo di gruppi iniettivo (epimorfismo).

[anti-spells]

Forse non ci ho pensato abbastanza ma ho difficoltà a trovare sottogruppi di un gruppo semplice. Per esempio prendo $ZZ_5$ come gruppo semplice ma per Lagrange gli unici sottogruppi hanno ordine 1 e 5 quindi non ci sono sottogruppi propri...

Non conosco gruppi semplici a parte gli $ZZ_n$ con n primo

[otta96]

"anti-spells":Non conosco gruppi semplici a parte gli $ZZ_n$ con n primo

Ce ne sono tanti e capire come sono fatti quelli finiti è stata una delle maggiori imprese del '900 nel campo della teoria dei gruppi, e quelli che conosci te sono tutti e soli quelli senza sottogruppi.
Comunque in realtà basta considerare l'immersione di un sottogruppo non normale di un gruppo nel gruppo stesso.
Lo conosci un esempio di sottogruppo non normale?