Un esercizio sui campi di spezzamento

[Shocker1]

Buonasera a tutti,

sono alle prese con il seguente esercizio sui campi di spezzamento:

Trovare il grado su $\mathbb{Q}$ del campo di spezzamento su $\mathbbQ$ di $x^5 - 1$

e vorrei sapere se l'ho svolto correttamente

Le radici di $f(x) = x^5 - 1$ sono le radici quinte dell'unità: $1, \omega, \omega^{2}, \omega^{3}, \omega^{4}$ con $\omega \in \mathbb{C}$ quindi $[\mathbb{Q}(1, \omega, \omega^{2}, \omega^{3}\omega^{4}):\mathbb{Q}] <= 5!$. Il fatto che $1$ è radice di $f(x)$ ci dice che il polinomio è riducibile su $\mathbb{Q}$, applicando ruffini ottengo: $f(x) = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$ dove $x^4+x^3+x^2+x+1$ è irriducibile per Eisenstein; adesso dato che $1 \in \mathbb{Q}$ allora $1 \in \mathbb{Q}(\omega) = \mathbb{Q}(\omega, \omega^{2}, \omega^{3}, \omega^{4})$, quest'ultima uguaglianza la giustificherei così: la prima inclusione è ovvia, per quanto riguarda la seconda: dato che $\mathbb{Q}(\omega)$ è un campo allora è chiuso rispetto alla moltiplicazione quindi $\omega^n \in \mathbb{Q}(\omega) \Rightarrow \mathbb{Q}(\omega, \omega^{2}, \omega^{3} \omega^{4}) \subset \mathbb{Q}(\omega)$ da cui l'uguaglianza. Ci sono altri modi per provarla? Avevo pensato di vederli come spazi vettoriali su $\mathbb{Q}$ e giocare con le dimensioni... ha senso o mi sto complicando la vita?
Comunque il grado del campo di spezzamento è $4$ poiché tale è il grado dell'estensione $\mathbb{Q}(\omega)$ su $\mathbb{Q}$.

Grazie a tutti!

[Pappappero1]

Tutto giusto, a parte l'irriducibilita' del polinomio con Eisenstein. O per lo meno, si puo' usare un trucco per dimostrare che quel polinomio e' irriducibile usando il criterio di Eisenstein, ma non e' proprio immediato: in particolare, bisogna usare che $4$ e' della forma $p-1$ con $p$ primo. Due paroline ce le spenderei.

Per dimostrare che \(\mathbb{Q}[\omega]\) e' gia' campo di spezzamente io farei esattamente come hai fatto. Il passaggio chiave e' che le altre radici sono le potenze di $\omega$, cosa che non e' vera se prendi un polinomio qualsiasi.

[Shocker1]

"Pappappero":Tutto giusto, a parte l'irriducibilita' del polinomio con Eisenstein. O per lo meno, si puo' usare un trucco per dimostrare che quel polinomio e' irriducibile usando il criterio di Eisenstein, ma non e' proprio immediato: in particolare, bisogna usare che $4$ e' della forma $p-1$ con $p$ primo. Due paroline ce le spenderei.

Sì intendevo Eisenstein "col trucco": $f(x)$ si può scrivere come $\frac{x^p - 1}{x-1}$ dopodiché si esamina $f(x+1)$ e si scopre che si può applicare Eisenstein, la tesi si ha perché $f(x)$ è irriducibile su un campo $\mathbb{K}$ $\iff f(ax+b)$ lo è $\forall a, b \in \mathbb{K}$ con $a != 0$.

Grazie mille