Un esercizio poco standard sulla teoria di Galois
Ciao a tutti, mi sono imbattuto in un esercizio che non riesco a domare e che mi sta facendo penare... chiunque volesse darmi uno spunto per risolverlo riceverà un cospicuo ammontare di punti benefattore 
Supponiamo che $E|F$ sia una estensione di Galois che contenga l'insieme $R_f$ di tutte le radici di un polinomio $f(X) in F[X]$, irriducibile e separabile in F. Sia $G_(E|F)$ il gruppo di Galois di E.
(1) Si mostri che, se $H sub G_(E|F)$ è un sottogruppo e $pi_H : R_f -> H/ R_f$ è l'applicazione quoziente (chiamo $bar x$ le classi di $H/R_f$), allora il polinomio definito come $ f_barx(X) = prod_{x in pi_H ^-1 (barx)} (X-x) in E^H [X] $ è irriducibile e si ha $ f(X) = prod_{x in H/R_f} f_barx(X) in E^H[X] $ come decomposizione in fattori irriducibili di f(X)
(2) Si mostri che, se H è sottogruppo normale di $G_(E|F)$, allora $deg(f_(barx_1)) = deg(f_(barx_2)) AA barx_1, barx_2 in H/R_f$
(3) Si mostri che, se K è una sottoestensione quadratica di E, ovvero $F sub K sub E$ e $[K] = 2$, allora $f(X) in K[X] $ è irriducibile oppure si scompone come $f(X) = f_1(X)f_2(X) in K[X]$, con $f_1(X),f_2(X) in K[X]$ entrambi irriducibili e di grado pari a $(deg(f))/2$.
Ispirandomi ad un esercizio simile ho fatto il primo punto nel seguente modo: premetto che con $vvv$ indico l'unione disgiunta di insiemi, visto che il simbolo corretto non è compreso nel codice ASCIIMath e con latex sono un disastro
.
Intanto, ritengo vero che $R_f = vvv_{bar x in H/R_f} pi_H ^(-1) (barx)$ e quindi la decomposizione $ f(X) = prod_{x in H/R_f} f_barx(X) in E[X]$ è valida. Devo dimostrare che questa fattorizzazione sia valida in $E^H[X]$ e che sia composta da fattori irriducibili.
Osservo che l'azione di H su $R_f$ manda ogni insieme $pi_H ^(-1) (barx)$ in sè stesso, quindi si ha che $AA sigma in H, text( ) sigma(f_(barx))(X) = f_(barx)(X)$, perciò $f_(barx)(X) in E^H[X]$ e quindi la fattorizzazione di prima vale in $E^H[X]$. Resta da dimostrare che ogni $f_(barx)(X) in E^H[X]$ sia irriducibile.
Suppongo che $f_(barx)(X) = g(X)h(X)$, dove $g(X),h(X) in E^H[X]$. Da $g(X) in E^H[X]$ segue che H agisce sull'insieme delle radici di g in E, insieme che chiamo $R_g$, e pertanto $R_g $ è un insieme saturo in H, o H-saturo per brevità; questo significa che $pi_H^(-1) (pi_H (R_g)) = R_g$. Dato poi che $pi_H^(-1)(barx)$ è l'orbita di x (attenzione, questo x piccolo è un elemento di $pi_H^(-1)(barx)$, NON è $barx$ e neanche X) e quindi il più piccolo insieme H-saturo che contenga x, deve essere $pi_H^(-1)(barx) sub R_g$. D'altronde, ho banalmente $R_g sub pi_H ^(-1)(barx)$ e quindi $R_g = pi_H ^(-1)(barx)$. Ma, essendo $pi_H ^(-1)(barx) = R_g vvv R_h$, si ha necessariamente $R_h$ vuoto e, siccome siamo in un campo di spezzamento per f( e quindi per h), ciò implica che deg(h) = 0, da cui, finalmente, l'irriducibilità
Per gli altri due punti vedrò di scervellarmi un po' io, però un aiutino sarebbe davvero apprezzato. Come al solito vi auguro buone cose e vi saluto
Supponiamo che $E|F$ sia una estensione di Galois che contenga l'insieme $R_f$ di tutte le radici di un polinomio $f(X) in F[X]$, irriducibile e separabile in F. Sia $G_(E|F)$ il gruppo di Galois di E.
(1) Si mostri che, se $H sub G_(E|F)$ è un sottogruppo e $pi_H : R_f -> H/ R_f$ è l'applicazione quoziente (chiamo $bar x$ le classi di $H/R_f$), allora il polinomio definito come $ f_barx(X) = prod_{x in pi_H ^-1 (barx)} (X-x) in E^H [X] $ è irriducibile e si ha $ f(X) = prod_{x in H/R_f} f_barx(X) in E^H[X] $ come decomposizione in fattori irriducibili di f(X)
(2) Si mostri che, se H è sottogruppo normale di $G_(E|F)$, allora $deg(f_(barx_1)) = deg(f_(barx_2)) AA barx_1, barx_2 in H/R_f$
(3) Si mostri che, se K è una sottoestensione quadratica di E, ovvero $F sub K sub E$ e $[K] = 2$, allora $f(X) in K[X] $ è irriducibile oppure si scompone come $f(X) = f_1(X)f_2(X) in K[X]$, con $f_1(X),f_2(X) in K[X]$ entrambi irriducibili e di grado pari a $(deg(f))/2$.
Ispirandomi ad un esercizio simile ho fatto il primo punto nel seguente modo: premetto che con $vvv$ indico l'unione disgiunta di insiemi, visto che il simbolo corretto non è compreso nel codice ASCIIMath e con latex sono un disastro
.Intanto, ritengo vero che $R_f = vvv_{bar x in H/R_f} pi_H ^(-1) (barx)$ e quindi la decomposizione $ f(X) = prod_{x in H/R_f} f_barx(X) in E[X]$ è valida. Devo dimostrare che questa fattorizzazione sia valida in $E^H[X]$ e che sia composta da fattori irriducibili.
Osservo che l'azione di H su $R_f$ manda ogni insieme $pi_H ^(-1) (barx)$ in sè stesso, quindi si ha che $AA sigma in H, text( ) sigma(f_(barx))(X) = f_(barx)(X)$, perciò $f_(barx)(X) in E^H[X]$ e quindi la fattorizzazione di prima vale in $E^H[X]$. Resta da dimostrare che ogni $f_(barx)(X) in E^H[X]$ sia irriducibile.
Suppongo che $f_(barx)(X) = g(X)h(X)$, dove $g(X),h(X) in E^H[X]$. Da $g(X) in E^H[X]$ segue che H agisce sull'insieme delle radici di g in E, insieme che chiamo $R_g$, e pertanto $R_g $ è un insieme saturo in H, o H-saturo per brevità; questo significa che $pi_H^(-1) (pi_H (R_g)) = R_g$. Dato poi che $pi_H^(-1)(barx)$ è l'orbita di x (attenzione, questo x piccolo è un elemento di $pi_H^(-1)(barx)$, NON è $barx$ e neanche X) e quindi il più piccolo insieme H-saturo che contenga x, deve essere $pi_H^(-1)(barx) sub R_g$. D'altronde, ho banalmente $R_g sub pi_H ^(-1)(barx)$ e quindi $R_g = pi_H ^(-1)(barx)$. Ma, essendo $pi_H ^(-1)(barx) = R_g vvv R_h$, si ha necessariamente $R_h$ vuoto e, siccome siamo in un campo di spezzamento per f( e quindi per h), ciò implica che deg(h) = 0, da cui, finalmente, l'irriducibilità
Per gli altri due punti vedrò di scervellarmi un po' io, però un aiutino sarebbe davvero apprezzato. Come al solito vi auguro buone cose e vi saluto
Risposte
up
Cosa intendi con [tex]H/R_f[/tex]? H è un sottogruppo del gruppo di Galois, mentre [tex]R_f[/tex] è un insieme di radici.
piacerebbe anche a me saperlo, non c'è una definizione ed anche l'esercizio simile non ne parla. Ha a che fare con l'azione di H su $R_f$, in quanto tale azione manda $pi_H ^(-1) (barx)$ in sè stesso... uff...
per il secondo punto pensavo: se H è normale in $G_E|F$, allora $E^H$ è di Galois, il che dovrebbe implicare (ma non sono ancora sicuro sia vero o di come dimostrarlo) che $pi_H ^(-1) (barx)$ abbia la stessa cardinalità per ogni $barx$, da cui viene facilmente la tesi. Mi approvi in questa affermazione?
Guarda, ti dico due cose perché purtroppo non ho molto tempo, buona fortuna per l'esame.
[tex]H/R_f[/tex] indica l'insieme delle orbite di H su [tex]R_f[/tex], cioè consiste delle cose del tipo [tex]\overline{x} = \{h(x)\ :\ h \in H\}[/tex] con [tex]x \in R_f[/tex] fissato. Ora ricordati che sei in un'estensione di Galois, quindi l'irriducibilità di un polinomio si traduce nel fatto che l'azione sugli zeri è transitiva. Il punto (1) ti sta semplicemente dicendo che se sei al livello di H è chiaro che il polinomio i cui zeri stanno in un'orbita di H è irriducibile al livello di H perché ovviamente H è transitivo su ogni sua orbita.
Se poi H è normale allora ricordando che G è transitivo sugli zeri coniugando dimostri che le orbite di H hanno tutte la stessa cardinalità (prendi due orbite [tex]x^H[/tex] e [tex]y^H[/tex] con [tex]y=x^g[/tex] e definisci [tex]x^H \to y^H[/tex] mandando [tex]x^h[/tex] in [tex]x^{hg} = y^{g^{-1}hg}[/tex] - questa applicazione è ben definita appunto perché H è normale). Questo ti dà il punto 2.
Per il punto 3 ricorda che i sottogruppi di indice 2 sono sempre normali e applica il punto precedente.
[tex]H/R_f[/tex] indica l'insieme delle orbite di H su [tex]R_f[/tex], cioè consiste delle cose del tipo [tex]\overline{x} = \{h(x)\ :\ h \in H\}[/tex] con [tex]x \in R_f[/tex] fissato. Ora ricordati che sei in un'estensione di Galois, quindi l'irriducibilità di un polinomio si traduce nel fatto che l'azione sugli zeri è transitiva. Il punto (1) ti sta semplicemente dicendo che se sei al livello di H è chiaro che il polinomio i cui zeri stanno in un'orbita di H è irriducibile al livello di H perché ovviamente H è transitivo su ogni sua orbita.
Se poi H è normale allora ricordando che G è transitivo sugli zeri coniugando dimostri che le orbite di H hanno tutte la stessa cardinalità (prendi due orbite [tex]x^H[/tex] e [tex]y^H[/tex] con [tex]y=x^g[/tex] e definisci [tex]x^H \to y^H[/tex] mandando [tex]x^h[/tex] in [tex]x^{hg} = y^{g^{-1}hg}[/tex] - questa applicazione è ben definita appunto perché H è normale). Questo ti dà il punto 2.
Per il punto 3 ricorda che i sottogruppi di indice 2 sono sempre normali e applica il punto precedente.
Grandissimo, con questo posso arrivare ad una soluzione decente ti ringrazio un sacco. Buone cose
ti ringrazio un sacco. Buone cose
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