Un esercizio elementare sui (co)prodotti di moduli
Sia \( (M_i)_{i\in I} \) una famiglia \( I \)-indicizzata di \( R \)-moduli (sinistri) su qualche anello \( R \), con \( I \) insieme non necessariamente finito. Denoto con \( {\left(\iota^j\colon M_j\to \bigoplus_{i\in I}M_i\right)}_{j\in I} \) un coprodotto nella categoria degli \( R \)-moduli della famiglia \( (M_i)_{i\in I} \), e con \( {\left(\pi_j\colon \prod_{i\in I}M_i\to M_j\right)}_{j\in I} \) un prodotto della famiglia \( (M_i)_{i\in I} \).
Voglio provare che, dato un \( R \)-modulo \( M \), è \( M\cong \bigoplus_{i\in I}M_i \) se e solo se esistono omomorfismi \( \mu^j\colon M_j\to M \) e \( \rho_j\colon M\to M_j \) per ogni \( j\in I \) tali che:
[list=4]
[*:2nvchbid] \( \rho_i\circ \mu^i = 1_{M_j} \) per ogni \( I\in I \);[/*:m:2nvchbid]
[*:2nvchbid] \( \rho_i\circ \mu^j = 0 \) per ogni \( i,j\in I \), \( i\neq j \);[/*:m:2nvchbid]
[*:2nvchbid] \( \rho_i(x) = 0 \) per ogni \( x\in M \), per quasi tutti gli \( i\in I \);[/*:m:2nvchbid]
[*:2nvchbid] \( \sum_{i\in I}\mu^i\circ\rho_i = 1_M \).[/*:m:2nvchbid][/list:o:2nvchbid]
Ovviamente, se lavoro con una costruzione esplicita di \( \bigoplus_{i\in I}M_i \) e di \( \prod_{i\in I}M_i \) lo so fare. Provo a farlo lavorando solo con le proprietà universali che definiscono questi oggetti.
Dimostrazione. Che se \( M\cong \bigoplus_{i\in I}M_i \) valgono i pt. da 1 a 4 per qualche morfismi è ovvio, quindi dimostro solo il viceversa. Sono dati due omomorfismi ovvi \( \phi\colon \bigoplus_{i\in I}M_i\to M \) e \( \psi\colon M\to \prod_{i\in I}M_i \) che fanno commutare i diagrammi
\[
\begin{CD}
M_j @= M_j\\
@V{\iota^j}VV @V{\mu^j}VV\\
{\bigoplus_{i\in I}M_i} @>{\phi}>> M_j\\
\end{CD}
\qquad
\begin{CD}
M @= M\\
@V{\psi}VV @V{\rho_j}VV\\
{\prod_{i\in I}M_i} @>{\pi_j}>> M_j\\
\end{CD}
\] per ogni \( j\in I \). L'idea è di dimostrare che \( \phi \) e \( \psi \) sono inversi. O meglio, devo dimostrare che c'è un qualche morfismo \( \psi^\prime\colon M\to \bigoplus_{i\in I}M_j \) (il quale probabilmente dipenderà da \( \psi \)) inverso a \( \psi \), dato che non è vero in questo mondo orribile che \( \prod_{i\in I}M_i\cong \bigoplus_{i\in I}M_i \) se \( I \) ha cardinalità non finita.
Da qui mi vengono un paio di domande, e cioè: 1) Come si fa? 2) È vero che \( \bigoplus_{i\in I}M_i \) si embedda in \( \prod_{i\in I}M_i \) canonicamente ("si embedda" = " c'è un monomorfismo \( \bigoplus_{i\in I}M_i\to \prod_{i\in I}M_i \) ")? 3) (ma forse mi basta una risposta alla 1) per capirlo) È vero che per dimostrare questo fatto devo usare la struttura di categoria abeliana della categoria dei moduli su \( R \)?
Voglio provare che, dato un \( R \)-modulo \( M \), è \( M\cong \bigoplus_{i\in I}M_i \) se e solo se esistono omomorfismi \( \mu^j\colon M_j\to M \) e \( \rho_j\colon M\to M_j \) per ogni \( j\in I \) tali che:
[list=4]
[*:2nvchbid] \( \rho_i\circ \mu^i = 1_{M_j} \) per ogni \( I\in I \);[/*:m:2nvchbid]
[*:2nvchbid] \( \rho_i\circ \mu^j = 0 \) per ogni \( i,j\in I \), \( i\neq j \);[/*:m:2nvchbid]
[*:2nvchbid] \( \rho_i(x) = 0 \) per ogni \( x\in M \), per quasi tutti gli \( i\in I \);[/*:m:2nvchbid]
[*:2nvchbid] \( \sum_{i\in I}\mu^i\circ\rho_i = 1_M \).[/*:m:2nvchbid][/list:o:2nvchbid]
Ovviamente, se lavoro con una costruzione esplicita di \( \bigoplus_{i\in I}M_i \) e di \( \prod_{i\in I}M_i \) lo so fare. Provo a farlo lavorando solo con le proprietà universali che definiscono questi oggetti.
Dimostrazione. Che se \( M\cong \bigoplus_{i\in I}M_i \) valgono i pt. da 1 a 4 per qualche morfismi è ovvio, quindi dimostro solo il viceversa. Sono dati due omomorfismi ovvi \( \phi\colon \bigoplus_{i\in I}M_i\to M \) e \( \psi\colon M\to \prod_{i\in I}M_i \) che fanno commutare i diagrammi
\[
\begin{CD}
M_j @= M_j\\
@V{\iota^j}VV @V{\mu^j}VV\\
{\bigoplus_{i\in I}M_i} @>{\phi}>> M_j\\
\end{CD}
\qquad
\begin{CD}
M @= M\\
@V{\psi}VV @V{\rho_j}VV\\
{\prod_{i\in I}M_i} @>{\pi_j}>> M_j\\
\end{CD}
\] per ogni \( j\in I \). L'idea è di dimostrare che \( \phi \) e \( \psi \) sono inversi. O meglio, devo dimostrare che c'è un qualche morfismo \( \psi^\prime\colon M\to \bigoplus_{i\in I}M_j \) (il quale probabilmente dipenderà da \( \psi \)) inverso a \( \psi \), dato che non è vero in questo mondo orribile che \( \prod_{i\in I}M_i\cong \bigoplus_{i\in I}M_i \) se \( I \) ha cardinalità non finita.
Da qui mi vengono un paio di domande, e cioè: 1) Come si fa? 2) È vero che \( \bigoplus_{i\in I}M_i \) si embedda in \( \prod_{i\in I}M_i \) canonicamente ("si embedda" = " c'è un monomorfismo \( \bigoplus_{i\in I}M_i\to \prod_{i\in I}M_i \) ")? 3) (ma forse mi basta una risposta alla 1) per capirlo) È vero che per dimostrare questo fatto devo usare la struttura di categoria abeliana della categoria dei moduli su \( R \)?
Risposte
EDIT: Non è vero che
se \( M\cong \bigoplus_{i\in}M_i \) valgono i pt. da 1 a 4 per qualche morfismi è ovvio.Non so fare neanche questo. Non so fare nulla praticamente lol
Non è chiarissimo che cosa vuoi dimostrare e ho l'impressione sia falso quello che vuoi; supponendo di avere un monomorfismo \(r : \bigoplus M_i \to \prod M_i\) vuoi definire \(\rho_a : \bigoplus M_i \to \prod M_i \to M_a\) per ogni indice $a$ e mostrare che valgono 1-2-3-4?
Se sì, si riesce a ottenere un morfismo canonico da coprodotto a prodotto semplicemente prendendo gli omomorfismi ovvi \(M_i \to \prod M_i\) che mandano un elemento \(x\in M_i\) nella sequenza \((\delta_{ij}x\mid j\in I)\) ($x$ al posto $i$-esimo e zero altrove), ma questo è solo un modo circonvoluto di dire che quegli elementi appartengono al coprodotto... e per categorie di moduli ci siamo portati a casa tutto, perché ora l'unicità di $r$ implica quelle varie proprietà.
Detto ciò, non capisco perché esistono \(\phi\) e \(\psi\)...
Se sì, si riesce a ottenere un morfismo canonico da coprodotto a prodotto semplicemente prendendo gli omomorfismi ovvi \(M_i \to \prod M_i\) che mandano un elemento \(x\in M_i\) nella sequenza \((\delta_{ij}x\mid j\in I)\) ($x$ al posto $i$-esimo e zero altrove), ma questo è solo un modo circonvoluto di dire che quegli elementi appartengono al coprodotto... e per categorie di moduli ci siamo portati a casa tutto, perché ora l'unicità di $r$ implica quelle varie proprietà.
Detto ciò, non capisco perché esistono \(\phi\) e \(\psi\)...
Il viceversa dovrebbe implicare proprio la cosa falsa, cioè \(\coprod M_i\cong \prod M_i\) per $I$ infinito (la qual cosa è falsa per un motivo, e secondo me per un buon motivo, non è un mondo brutto quello dove i biprodotti sono solo quelli finiti...)
È scritto male, sì. Voglio provare che, se \( M \) è un \( R \)-modulo ed esistono due famiglie di omomorfismi \( {\left(\mu^i\colon M_i\to M\right)}_{i\in I} \) e \( {\left(\rho^i\colon M\to M_i\right)}_{i\in I} \) tali che i punti da 1) a 4) valgano, allora \( M\cong \bigoplus_{i\in I}M_i \). E poi voglio provare il viceversa, cioè che se \( M\cong \bigoplus_{i\in I}M_i \) allora esistono famiglie di morfismi \( {\left(\mu^i\colon M_i\to M\right)}_{i\in I} \) e \( {\left(\rho^i\colon M\to M_i\right)}_{i\in I} \) tali che [...].
È la Proposizione 3.4 a pagina 327 in http://dobrochan.ru/src/pdf/1204/Grillet_P._A._-_Abstract_Algebra_(2007)(684).pdf.
Che io sappia questo fatto vale: costruisci \( \bigoplus_{i\in I}M_i \) e \( \prod_{i\in I}M_i \) "al solito modo" e dovrebbe venire. Ma se io non voglio usare costruzioni esplicite e usare solo la proprietà universale di coprodotto e prodotto?
I morfismi \( \phi\colon \bigoplus_{i\in I}M_i\to M \) e \( \psi\colon M\to \prod_{i\in I}M \) esistono perché sono date per ipotesi delle famiglie di frecce \( {\left(\mu^i\colon M_i\to M\right)}_{i\in I} \) e \( {\left(\rho^i\colon M\to M_i\right)}_{i\in I} \), no?
Per quanto riguarda
È la Proposizione 3.4 a pagina 327 in http://dobrochan.ru/src/pdf/1204/Grillet_P._A._-_Abstract_Algebra_(2007)(684).pdf.
Che io sappia questo fatto vale: costruisci \( \bigoplus_{i\in I}M_i \) e \( \prod_{i\in I}M_i \) "al solito modo" e dovrebbe venire. Ma se io non voglio usare costruzioni esplicite e usare solo la proprietà universale di coprodotto e prodotto?
Chi ti dice che esistono \( \phi \) e \( \psi \)
I morfismi \( \phi\colon \bigoplus_{i\in I}M_i\to M \) e \( \psi\colon M\to \prod_{i\in I}M \) esistono perché sono date per ipotesi delle famiglie di frecce \( {\left(\mu^i\colon M_i\to M\right)}_{i\in I} \) e \( {\left(\rho^i\colon M\to M_i\right)}_{i\in I} \), no?
Per quanto riguarda
"megas_archon":Sì certo questo lo so, però come fai a dimostralo se tutto quello che sai su \( {\left(\iota^j\colon M_j\to \bigoplus_{i\in I}M_i\right)}_{j\in I} \) e su \( {\left(\pi_j\colon \prod_{i\in I}M_i\to M_j\right)}_{j\in I} \) è che hanno una certa proprietà universale?i riesce a ottenere un morfismo canonico da coprodotto a prodotto semplicemente prendendo gli omomorfismi ovvi \( M_i \to \prod M_i \) che mandano un elemento \( x\in M_i \) nella sequenza \( (\delta_{ij}x\mid j\in I) \).
Sono molto stanco e potrebbe sfuggirmi l'ovvio, ma il problema di questo enunciato, generalizzato a categorie abeliane astratte, è: cosa significa di preciso "\(\rho_i x = 0\) per quasi ogni $i$"?
Non è che non si possa rispondere... però dobbiamo metterci d'accordo su cosa significa: se vuoi ragionare "cacciando gli elementi" (come faceva Mac Lane) e dici che la tua categoria abeliana preferita \(\cal A\) ha un generatore fatto bene, beh, il teorema di Gabriel-Popescu dice circa che \(\cal A\) è una sottocategoria riflessiva in una categoria di moduli sull'anello degli endomorfismi del generatore, e il riflettore preserva i limiti finiti. Perciò non hai generalizzato granché.
Se chiedi di meno, potresti avere che hommare nel generatore non è un funtore fedele, e quindi perdi il "principio di estensionalità" in \(\cal A\); tutto quello che puoi fare a quel punto è usare il lemma di Yoneda con tutti gli oggetti/morfismi:
Il fatto è che non avrò mai voglia di texxarlo...
PS: sGrillettone è un libro meraviglioso ma non usarlo per studiare categorie. Se vuoi provare le cose element-free, leggi il primo capitolo del Borceux, tomo II (dove sospetto questo teorema ci sia già...). Oppure (molto consigliato) Freyd: https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/freydab.pdf
Non è che non si possa rispondere... però dobbiamo metterci d'accordo su cosa significa: se vuoi ragionare "cacciando gli elementi" (come faceva Mac Lane) e dici che la tua categoria abeliana preferita \(\cal A\) ha un generatore fatto bene, beh, il teorema di Gabriel-Popescu dice circa che \(\cal A\) è una sottocategoria riflessiva in una categoria di moduli sull'anello degli endomorfismi del generatore, e il riflettore preserva i limiti finiti. Perciò non hai generalizzato granché.
Se chiedi di meno, potresti avere che hommare nel generatore non è un funtore fedele, e quindi perdi il "principio di estensionalità" in \(\cal A\); tutto quello che puoi fare a quel punto è usare il lemma di Yoneda con tutti gli oggetti/morfismi:
Per ogni oggetto \(T\in{\cal A}_0\) e ogni morfismo \(x : T \to M\), la composizione \(\rho_i \circ x\) è il morfismo zero \(T \to M_i\) per quasi ogni \(i\in I\)Se è questo quello che vuoi, mi aspetto ci sia del noioso diagram chasing da fare.
Il fatto è che non avrò mai voglia di texxarlo...
PS: sGrillettone è un libro meraviglioso ma non usarlo per studiare categorie. Se vuoi provare le cose element-free, leggi il primo capitolo del Borceux, tomo II (dove sospetto questo teorema ci sia già...). Oppure (molto consigliato) Freyd: https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/freydab.pdf
Dunque; se hai il coprodotto \(M=\bigoplus M_\alpha\) e chiami \(i_\alpha : M_\alpha \to M\) la gamba alfesima del cocono iniziale, ottieni un unico
\[\textstyle \bar u : \coprod_\alpha M_\alpha \to \prod_\beta M_\beta\] usando la proprietà universale del coprodotto e del prodotto, perché
\[\frac{\hom\left(\coprod_\alpha M_\alpha, \prod_\beta M_\beta\right)}{\prod_{(\alpha,\beta)\in I\times I} \hom(M_\alpha, M_\beta)}\] Allora \(\bar u\) è univocamente definito dalla proprietà che la composizione \[\textstyle M_\alpha \xrightarrow{i_\alpha} \coprod_\gamma M_\gamma \xrightarrow{\bar u} \prod_\delta M_\delta \xrightarrow{\pi_\beta} M_\beta\] faccia l'identità di $M_\alpha$ se $\alpha=\beta$ e il morfismo zero altrimenti; questo ti dà all'istante le varie proprietà 1-2-3-4.
\[\textstyle \bar u : \coprod_\alpha M_\alpha \to \prod_\beta M_\beta\] usando la proprietà universale del coprodotto e del prodotto, perché
\[\frac{\hom\left(\coprod_\alpha M_\alpha, \prod_\beta M_\beta\right)}{\prod_{(\alpha,\beta)\in I\times I} \hom(M_\alpha, M_\beta)}\] Allora \(\bar u\) è univocamente definito dalla proprietà che la composizione \[\textstyle M_\alpha \xrightarrow{i_\alpha} \coprod_\gamma M_\gamma \xrightarrow{\bar u} \prod_\delta M_\delta \xrightarrow{\pi_\beta} M_\beta\] faccia l'identità di $M_\alpha$ se $\alpha=\beta$ e il morfismo zero altrimenti; questo ti dà all'istante le varie proprietà 1-2-3-4.
Per quanto riguarda il viceversa, supponi vere 1-2-3-4, allora vuoi dimostrare che \(\mu_\alpha : M_\alpha \to M\) è il cocono iniziale.
Quindi supponiamo che ti sia dato un altro cocono \(\theta_\alpha : M_\alpha \to Z\) verso un altro oggetto $Z$, e vediamo di definire un'unica $\bar\theta : M\to Z$ tale che \(\bar\theta\circ \mu_\alpha = \theta_\alpha\). Chiaramente devi usare le \(\rho_\alpha\): l'idea originale di prendere semplicemente \(\theta_\alpha\circ \rho_\alpha\) per un indice a caso non funziona, perché il risultato dipende dall'indice; però puoi prenderle tutte, cioè considerare il morfismo \(\sum_\alpha \theta_\alpha \circ \rho_\alpha : M \to Z\), che per la proprietà 3 è ben definito (perché element-wise la somma è finita, quindi sai quanto fa); ora è ovvio che \[\textstyle\left(\sum_\alpha \theta_\alpha \circ \rho_\alpha\right)\circ \mu_\beta = \theta_\beta \circ \rho_\beta\circ\mu_\beta = \theta_\beta\] per ogni indice \(\beta\) (la somma si riduce a un solo addendo, gli altri sono tutti zero perché \(\rho_\alpha\circ \mu_\beta\) è la "delta di Kronecker", se capisci cosa intendo), e del resto la proprietà 4 ora dice che questa è l'unica scelta possibile: se \(\bar\theta\) è tale che \(\bar\theta\circ \mu_\alpha = \theta_\alpha\), allora \[\textstyle\bar\theta = \bar\theta\circ \left(\sum_\alpha \mu_\alpha \circ \rho_\alpha\right) = \sum_\alpha \bar\theta\circ \mu_\alpha \circ \rho_\alpha = \sum_\alpha \theta_\alpha\circ \rho_\alpha\]
Quindi supponiamo che ti sia dato un altro cocono \(\theta_\alpha : M_\alpha \to Z\) verso un altro oggetto $Z$, e vediamo di definire un'unica $\bar\theta : M\to Z$ tale che \(\bar\theta\circ \mu_\alpha = \theta_\alpha\). Chiaramente devi usare le \(\rho_\alpha\): l'idea originale di prendere semplicemente \(\theta_\alpha\circ \rho_\alpha\) per un indice a caso non funziona, perché il risultato dipende dall'indice; però puoi prenderle tutte, cioè considerare il morfismo \(\sum_\alpha \theta_\alpha \circ \rho_\alpha : M \to Z\), che per la proprietà 3 è ben definito (perché element-wise la somma è finita, quindi sai quanto fa); ora è ovvio che \[\textstyle\left(\sum_\alpha \theta_\alpha \circ \rho_\alpha\right)\circ \mu_\beta = \theta_\beta \circ \rho_\beta\circ\mu_\beta = \theta_\beta\] per ogni indice \(\beta\) (la somma si riduce a un solo addendo, gli altri sono tutti zero perché \(\rho_\alpha\circ \mu_\beta\) è la "delta di Kronecker", se capisci cosa intendo), e del resto la proprietà 4 ora dice che questa è l'unica scelta possibile: se \(\bar\theta\) è tale che \(\bar\theta\circ \mu_\alpha = \theta_\alpha\), allora \[\textstyle\bar\theta = \bar\theta\circ \left(\sum_\alpha \mu_\alpha \circ \rho_\alpha\right) = \sum_\alpha \bar\theta\circ \mu_\alpha \circ \rho_\alpha = \sum_\alpha \theta_\alpha\circ \rho_\alpha\]
Quello che non arò mai voglia di controllare è se la versione element-free della condizione 3 funziona; deve farlo, per Yoneda, però boh. Il problema è che 3 è una condizione molto naturale da enunciare attraverso gli elementi, ma l'estensionalità (cioè circa il fatto che una categoria abbia un generatore) è una proprietà forte.
"megas_archon":L'idea è di usare il fatto che
Dunque; se hai il coprodotto \( M=\bigoplus M_\alpha \) e chiami \( i_\alpha : M_\alpha \to M \) la gamba alfesima del cocono iniziale, ottieni un unico
\[ \textstyle \bar u : \coprod_\alpha M_\alpha \to \prod_\beta M_\beta \] usando la proprietà universale del coprodotto e del prodotto, perché
\[ \frac{\hom\left(\coprod_\alpha M_\alpha, \prod_\beta M_\beta\right)}{\prod_{(\alpha,\beta)\in I\times I} \hom(M_\alpha, M_\beta)} \] Allora \( \bar u \) è univocamente definito dalla proprietà che la composizione \[ \textstyle M_\alpha \xrightarrow{i_\alpha} \coprod_\gamma M_\gamma \xrightarrow{\bar u} \prod_\delta M_\delta \xrightarrow{\pi_\beta} M_\beta \] faccia l'identità di $ M_\alpha $ se $ \alpha=\beta $ e il morfismo zero altrimenti; questo ti dà all'istante le varie proprietà 1-2-3-4.
\[
\hom\Bigl(\bigoplus_\alpha M_\alpha, \prod_\beta M_\beta\Bigr)\cong \prod_{\alpha,\beta} \hom(M_\alpha, M_\beta)
\] per dimostrare che c'è \( \bar u \), giusto? Però non ho capito come.
"megas_archon":Qui invece l'idea di dimostrare che \( M = \bigoplus_\alpha M_\alpha \) facendo vedere che, appunto, \( \mu_\alpha\colon M_\alpha\to M \) è un cono limite non mi era venuta, perché son stupido. Poi la semantica di \( \mu_\alpha \) e \( \rho_\alpha \) quella sì era chiara.
Per quanto riguarda il viceversa, supponi vere 1-2-3-4, allora vuoi dimostrare che \( \mu_\alpha : M_\alpha \to M \) è il cocono iniziale.
Quindi supponiamo che ti sia dato un altro cocono \( \theta_\alpha : M_\alpha \to Z \) verso un altro oggetto $ Z $, e vediamo di definire un'unica $ \bar\theta : M\to Z $ tale che \( \bar\theta\circ \mu_\alpha = \theta_\alpha \). Chiaramente devi usare le \( \rho_\alpha \): l'idea originale di prendere semplicemente \( \theta_\alpha\circ \rho_\alpha \) per un indice a caso non funziona, perché il risultato dipende dall'indice; però puoi prenderle tutte, cioè considerare il morfismo \( \sum_\alpha \theta_\alpha \circ \rho_\alpha : M \to Z \), che per la proprietà 3 è ben definito (perché element-wise la somma è finita, quindi sai quanto fa); ora è ovvio che \[ \textstyle\left(\sum_\alpha \theta_\alpha \circ \rho_\alpha\right)\circ \mu_\beta = \theta_\beta \circ \rho_\beta\circ\mu_\beta = \theta_\beta \] per ogni indice \( \beta \) (la somma si riduce a un solo addendo, gli altri sono tutti zero perché \( \rho_\alpha\circ \mu_\beta \) è la "delta di Kronecker", se capisci cosa intendo), e del resto la proprietà 4 ora dice che questa è l'unica scelta possibile: se \( \bar\theta \) è tale che \( \bar\theta\circ \mu_\alpha = \theta_\alpha \), allora \[ \textstyle\bar\theta = \bar\theta\circ \left(\sum_\alpha \mu_\alpha \circ \rho_\alpha\right) = \sum_\alpha \bar\theta\circ \mu_\alpha \circ \rho_\alpha = \sum_\alpha \theta_\alpha\circ \rho_\alpha \]
"megas_archon":In realtà non è che voglio per forza fare le cose senza gli elementi, è che visto che ora che so un po' di roba in più su limiti ecc. volevo provare a vedere se riuscivo a dimostrare qualcosa di "vero" usando solo queste tecniche.
PS: sGrillettone è un libro meraviglioso ma non usarlo per studiare categorie. Se vuoi provare le cose element-free, leggi il primo capitolo del Borceux, tomo II (dove sospetto questo teorema ci sia già...). Oppure (molto consigliato) Freyd: https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/freydab.pdf
E grazie!
"marco2132k":E' molto semplice, te lo faccio per due insiemi diversi $I,J$ e finiti (diciamo \(I=\{1,2\}, J=\{1,2,3\}\). Tu vuoi farlo per $I=J$, di cardinalità arbitraria, ma l'idea è la stessa.
L'idea è di usare il fatto che
\[
\hom\Bigl(\bigoplus_\alpha M_\alpha, \prod_\beta M_\beta\Bigr)\cong \prod_{\alpha,\beta} \hom(M_\alpha, M_\beta)
\] per dimostrare che c'è \( \bar u \), giusto? Però non ho capito come.
Le proprietà universale del coprodotto e del prodotto ti dicono che in una categoria generica \(\cal C\) vale l'isomorfismo \[\textstyle{\cal C}(\coprod_i A_i, \prod_j B_j)\cong \prod_i \prod_j {\cal C}(A_i, B_j)\] e quindi dare un unico morfismo \(\coprod A_i \to \prod B_j\) equivale esattamente a dare una famiglia di morfismi \(\{f_{ij} : A_i \to B_j\mid (i,j)\in I\times J\}\), che si può rappresentare come una matrice \(\left(\begin{smallmatrix}
f_{11} & f_{12} & f_{13} \\
f_{21} & f_{22} & f_{23}
\end{smallmatrix}\right)\) (in questo senso la teoria dei moduli non è molto diversa dall'algebra lineare, ma la teoria degli indecomponibili qui è più complicata: su un campo a un certo punto arrivi ad avere che le $f_{ij}$ siano scalari, perché ciascuna $f_{ij} : A_i \to B_j$ ammetterà una decomposizione ulteriore, e ulteriore, e ulteriore... finché non arrivi ad avere semplicemente una mappa $k$-lineare $f_{ij} : k\to k$, esattamente "l'entrata" della matrice di $f$ al posto $i,j$).
A questo punto, qual è una scelta "canonica" di famiglia di omomorfismi $A_i \to A_j$ quando $I=J$? Beh, la delta di Kronecker, intesa come
\[\delta_{ij} = \begin{cases} 1_{A_i} & i=j \\ 0 & i\ne j\end{cases}\] E ad essa deve corrispondere un unico \(\bar u : \coprod_i A_i \to \prod_j A_j\), univocamente definito dalla proprietà che ho scritto.
volevo provare a vedere se riuscivo a dimostrare qualcosa di "vero" usando solo queste tecniche.I già citati Freyd e Borceux II, ma anche
Stenström, Bo. Rings of quotients: an introduction to methods of ring theory. Vol. 217. Springer Science & Business Media, 2012.
Ok, capii.
P.S. Bello lo Stenström. Non avrò mai la forza di leggere tutta quella roba, però mi sembra scritto bene.
P.S. Bello lo Stenström. Non avrò mai la forza di leggere tutta quella roba, però mi sembra scritto bene.
Spero di avere insegnato qualcosa anche agli altri pisquani.
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