Ultrafiltri su \(X\)
Mi chiedevo se questa proposizione valesse anche su un generico insieme \(X\)
Cioè prendendo un ultrafiltro su \(X\), perché mi si chiede di dimostrare che dati due ultrafiltri su \( \mathbb{N} \) allora di dimostrare che \( p \rtimes q = \{ A \subseteq \mathbb{N} : A_q \in p \} \) è un ultrafiltro su \( \mathbb{N}^2 \), dove \( A_q = \{ n \in \mathbb{N} : A_n \in q \} \) e \( A_n = \{ m \in \mathbb{N} : (n,m) \in A \} \).
Ho dimostrato che \( p \rtimes q \) è un filtro e ora devo dimostrare la massimalità e volevo usare la proposizione là perché se \( A \in p \rtimes q \) lo partizioniamo in \( A = X \cup Y \), disgiunti, allora induce naturalmente una partizione su \( A_q = X_q \cup Y_q \) poiché per ogni \(n \in \mathbb{N} \) abbiamo che \( A_n = X_n \cup Y_n \) chiaramente, allora se \(n \) è tale che \( A_n \in q \) per la partition regularity di \(q\) abbiamo dunque che \( X_n \in q \) oppure \(Y_n \in q \) e dunque se \( A_q = X_q \cup Y_q \) ora per la partition regularity di \(p \) finiamo poiché abbiamo che \(X_q \) oppure \(Y_q \) stanno in \(p \) concludendo che \(X \in p \rtimes q \) oppure \(Y \in p \rtimes q \).
"3m0o":
Proposizione: Un filtro su \( \mathbb{N} \) è un ultrafiltro se e solo se è partition regular, i.e. se \( A = C_1 \cup \ldots \cup C_k \) allora esiste \( 1 \leq i \leq k \) tale che \( C_i \in F \).
Cioè prendendo un ultrafiltro su \(X\), perché mi si chiede di dimostrare che dati due ultrafiltri su \( \mathbb{N} \) allora di dimostrare che \( p \rtimes q = \{ A \subseteq \mathbb{N} : A_q \in p \} \) è un ultrafiltro su \( \mathbb{N}^2 \), dove \( A_q = \{ n \in \mathbb{N} : A_n \in q \} \) e \( A_n = \{ m \in \mathbb{N} : (n,m) \in A \} \).
Ho dimostrato che \( p \rtimes q \) è un filtro e ora devo dimostrare la massimalità e volevo usare la proposizione là perché se \( A \in p \rtimes q \) lo partizioniamo in \( A = X \cup Y \), disgiunti, allora induce naturalmente una partizione su \( A_q = X_q \cup Y_q \) poiché per ogni \(n \in \mathbb{N} \) abbiamo che \( A_n = X_n \cup Y_n \) chiaramente, allora se \(n \) è tale che \( A_n \in q \) per la partition regularity di \(q\) abbiamo dunque che \( X_n \in q \) oppure \(Y_n \in q \) e dunque se \( A_q = X_q \cup Y_q \) ora per la partition regularity di \(p \) finiamo poiché abbiamo che \(X_q \) oppure \(Y_q \) stanno in \(p \) concludendo che \(X \in p \rtimes q \) oppure \(Y \in p \rtimes q \).
Risposte
Hai provato a vedere se la dimostrazione che vale per $NN$ può essere adattata ad una dimostrazione per $X$?
Si e a me non sembra utilizzi nessuna proprietà di \( \mathbb{N} \) quindi direi che valga per un generico \(X\), però allora non mi spiego come mai mettere nelle ipotesi che \(p\) è un ultrafiltro su \( \mathbb{N} \).
La dimostrazione è la seguente:
Sia \( p \) un ultrafiltro su \( \mathbb{N} \), dimostriamo che è partition regular. Sia \(A \in p \) arbitrario e supponiamo \(A=A_1 \cup A_2 \), supponiamo che \(A_1 \not\in p \) allora abbiamo che \(B \cap A_2 \neq \emptyset \) per ogni \(B \in p \) altrimenti se esistesse \(B \) tale che \( B \cap A_2 = \emptyset \) risulta che \( A_1 \supset A \cap B \in p \) contraddicendo l'ipotesi. Segue che \( \{ B \cap A_2 : B \in p \} \) non contiene l'insieme vuoto. Quindi
\[ q = \{ C \subseteq \mathbb{N} : \exists B \in p, B \cap A_2 \subseteq C \} \]
è un filtro. Siccome \(p\) è massimale e \( p \subseteq q \) abbiamo che \( p=q \). Infine abbiamo che \( A_2 \in q \) e quindi \( A_2 \in p \).
Se \(p\) è partition regular allora supponiamo che \(q\) sia un filtro su \( \mathbb{N} \) tale che \( p \subseteq q \). Per ogni \( A \in q \) abbiamo che \( A^c \not\in q \) perché altrimenti la proprietà upward closed implicherebbe \( A \cap A^c = \emptyset \in q \), che contraddice la proprietà delle intersezioni finite. Quindi \( A^c \not\in q \), segue anche che \( A^c \not\in p \) e quindi siccome \(p \) è partition regulare abbiamo che \( A \in p \), questo dimostra che \( p =q \) e quindi \(p \) è un ultrafiltro.
La dimostrazione è la seguente:
Sia \( p \) un ultrafiltro su \( \mathbb{N} \), dimostriamo che è partition regular. Sia \(A \in p \) arbitrario e supponiamo \(A=A_1 \cup A_2 \), supponiamo che \(A_1 \not\in p \) allora abbiamo che \(B \cap A_2 \neq \emptyset \) per ogni \(B \in p \) altrimenti se esistesse \(B \) tale che \( B \cap A_2 = \emptyset \) risulta che \( A_1 \supset A \cap B \in p \) contraddicendo l'ipotesi. Segue che \( \{ B \cap A_2 : B \in p \} \) non contiene l'insieme vuoto. Quindi
\[ q = \{ C \subseteq \mathbb{N} : \exists B \in p, B \cap A_2 \subseteq C \} \]
è un filtro. Siccome \(p\) è massimale e \( p \subseteq q \) abbiamo che \( p=q \). Infine abbiamo che \( A_2 \in q \) e quindi \( A_2 \in p \).
Se \(p\) è partition regular allora supponiamo che \(q\) sia un filtro su \( \mathbb{N} \) tale che \( p \subseteq q \). Per ogni \( A \in q \) abbiamo che \( A^c \not\in q \) perché altrimenti la proprietà upward closed implicherebbe \( A \cap A^c = \emptyset \in q \), che contraddice la proprietà delle intersezioni finite. Quindi \( A^c \not\in q \), segue anche che \( A^c \not\in p \) e quindi siccome \(p \) è partition regulare abbiamo che \( A \in p \), questo dimostra che \( p =q \) e quindi \(p \) è un ultrafiltro.
Eh si questa dimostrazione vale anche per $X$ generico.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo