Ultimi esercizi algebra (esame questo pom)
Ho appena trovato un altro esercizio che non so fare...panico e raccapriccio..
Esercizio
1.Sia R un anello unitario, si dimostri che un divisore dello zero non può essere invertibile.
2. Si dimostri che in un dominio d'integrità vale la legge di cancellazione.
3. Sia D un dominio d'integrità tale che ogni elemento in D non nullo e non invertibile è irriducibile; si dimostri che D è un campo.
Il primo punto forse l'ho fatto, ma non sono sicura..per il resto non saprei...
vi prego aiutatemi!
Esercizio
1.Sia R un anello unitario, si dimostri che un divisore dello zero non può essere invertibile.
2. Si dimostri che in un dominio d'integrità vale la legge di cancellazione.
3. Sia D un dominio d'integrità tale che ogni elemento in D non nullo e non invertibile è irriducibile; si dimostri che D è un campo.
Il primo punto forse l'ho fatto, ma non sono sicura..per il resto non saprei...
vi prego aiutatemi!
Risposte
il secondo siano a,b,c diversi da zero: ab=cb -> ab-cb=0 -> b(a-c)=0 -> a=c
ora penso agli altri
edit: si intende quello per legge di cancellazione?
ora penso agli altri
edit: si intende quello per legge di cancellazione?
Ciao!
1. Se $a$ è un divisore dello zero allora esiste $b \ne 0$ tale che $ab=0$.
Se $a$ è invertibile e $ab=0$ allora $b=a^{-1}ab=a^{-1}0=0$, ovvero $b=0$. Quindi $a$ non è divisore dello zero.
2. Se $a,b,c$ sono elementi di un dominio di integrità, $a \ne 0$ e $ab=ac$ allora portando a sinistra e raccogliendo, $a(b-c)=0$. Ne segue che $b-c=0$ perché siamo in un dominio e $a \ne 0$. Quindi $b=c$.
3. Sia $a \in D$ non nullo. Dobbiamo mostrare che $a$ è invertibile.
Supponiamo per assurdo che $a$ non sia invertibile. Allora $a^2 \ne 0$ (altrimenti $a=0$ perché siamo in un dominio). Quindi $a^2$ è non nullo. Se $a^2$ fosse invertibile allora esisterebbe $b \in D$ con $a^2b=1$ e quindi $a*ab=1$ e $a$ sarebbe invertibile con inverso $ab$, assurdo. Quindi $a^2$ non è invertibile. Per ipotesi quindi $a^2$ è irriducibile. Ma allora la scomposizione $a^2=a*a$ non dev'essere "propria", ovvero uno dei fattori dev'essere invertibile. Quindi $a$ è invertibile. Assurdo.
PS: Il terzo non era facilissimo
1. Se $a$ è un divisore dello zero allora esiste $b \ne 0$ tale che $ab=0$.
Se $a$ è invertibile e $ab=0$ allora $b=a^{-1}ab=a^{-1}0=0$, ovvero $b=0$. Quindi $a$ non è divisore dello zero.
2. Se $a,b,c$ sono elementi di un dominio di integrità, $a \ne 0$ e $ab=ac$ allora portando a sinistra e raccogliendo, $a(b-c)=0$. Ne segue che $b-c=0$ perché siamo in un dominio e $a \ne 0$. Quindi $b=c$.
3. Sia $a \in D$ non nullo. Dobbiamo mostrare che $a$ è invertibile.
Supponiamo per assurdo che $a$ non sia invertibile. Allora $a^2 \ne 0$ (altrimenti $a=0$ perché siamo in un dominio). Quindi $a^2$ è non nullo. Se $a^2$ fosse invertibile allora esisterebbe $b \in D$ con $a^2b=1$ e quindi $a*ab=1$ e $a$ sarebbe invertibile con inverso $ab$, assurdo. Quindi $a^2$ non è invertibile. Per ipotesi quindi $a^2$ è irriducibile. Ma allora la scomposizione $a^2=a*a$ non dev'essere "propria", ovvero uno dei fattori dev'essere invertibile. Quindi $a$ è invertibile. Assurdo.
PS: Il terzo non era facilissimo
"rubik":
il secondo siano a,b,c diversi da zero: ab=cb -> ab-cb=0 -> b(a-c)=0 -> a=c
ora penso agli altri
edit: si intende quello per legge di cancellazione?
Sì, si intende quello...grazie a entrambi! il primo l'avevo fatto giusto, il secondo era più semplice di quel che pensassi (per cui mi incasinavo per niente
), per il terzo, ora vado a meditare sui miei errori...
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