Tutti i cavalli sono dello stesso colore.
Lemma: Tutti i cavalli sono dello stesso colore.
Dimostrazione (per induzione):
Caso n=1: in un insieme di un solo cavallo, è ovvio che tutti i cavalli di quell'insieme sono dello stesso colore.
Caso n=k: supponiamo di avere un insieme di k+1 cavalli. Togliamone uno dall'insieme così abbiamo k cavalli. Supponiamo inoltre che questi cavalli siano dello stesso colore. Ora rimettiamo nell'insieme il cavallo che avevamo tolto e togliamo un altro cavallo. Supponiamo che anche in questo nuovo insieme i cavalli siano dello stesso colore. Allora possiamo dedurre che anche i k+1 cavalli sono dello stesso colore.
Abbiamo quindi che: se il lemma è vero per k lo è anche per k+1.
Quindi tutti i cavalli sono dello stesso colore.
C.V.D.
Intuitivamente ho capito cosa c'è che non va nella dimostrazione: per n=2 non posso dire che il lemma sia vero perché non è detto che due cavalli siano dello stesso colore.
Non riesco a dirlo in modo rigoroso. Mi aiutate con qualche piccola idea?
Grazie!
Dimostrazione (per induzione):
Caso n=1: in un insieme di un solo cavallo, è ovvio che tutti i cavalli di quell'insieme sono dello stesso colore.
Caso n=k: supponiamo di avere un insieme di k+1 cavalli. Togliamone uno dall'insieme così abbiamo k cavalli. Supponiamo inoltre che questi cavalli siano dello stesso colore. Ora rimettiamo nell'insieme il cavallo che avevamo tolto e togliamo un altro cavallo. Supponiamo che anche in questo nuovo insieme i cavalli siano dello stesso colore. Allora possiamo dedurre che anche i k+1 cavalli sono dello stesso colore.
Abbiamo quindi che: se il lemma è vero per k lo è anche per k+1.
Quindi tutti i cavalli sono dello stesso colore.
C.V.D.
Intuitivamente ho capito cosa c'è che non va nella dimostrazione: per n=2 non posso dire che il lemma sia vero perché non è detto che due cavalli siano dello stesso colore.
Non riesco a dirlo in modo rigoroso. Mi aiutate con qualche piccola idea?
Grazie!
Risposte
Per fare il passo induttivo occorre che $k \geq 2$ (ti servono due cavalli da togliere e uno per confrontare il colore). Quindi il caso $k=1$ fallisce.
"Martino":
Per fare il passo induttivo occorre che $k \geq 2$ (ti servono due cavalli da togliere e uno per confrontare il colore). Quindi il caso $k=1$ fallisce.
il caso k=2 fallisce... cioè, se ho due cavalli non posso affermare a priori che "due cavalli sono dello stesso colore" perché un cavallo è dello sstesso colore di se stesso e un altro è dello stesso colore di se stesso...
magari sono uno bianco e uno nero, vale k=1 ma non vale k=2
Io penso che l'errore nella dimostrazione stia alla base.
Il principio di induzione è applicabile solo nel caso di insiemi ben ordinati. Per poter costruire il passo base deve risultare possibile considerare l'elemento minimo del dominio della proprietà data. Nell'insieme dei cavalli ovviamente non esiste un elemento minimo. Non è possibile neanche eseguire il passo induttivo in quanto non è definita la funzione di successione secondo cui dato un determinato cavallo possa ricavare il successivo. Nella dimostrazione che hai proposto, nel passo base utilizzi l'insieme costituito da un solo cavallo che non è un elemento del dominio della proposizione da dimostrare che,come abbiamo precedentemente detto è l'insieme dei cavalli. Nel'ipotesi in cui fosse possibile cotruire una funzione biunivoca tra l'insieme dei cavalli e un insieme ben ordinato(come l'insieme N) potremmo allora identificare quest'ultimo con l'insieme dei cavalli e applicare il principio di induzione.
Il principio di induzione è applicabile solo nel caso di insiemi ben ordinati. Per poter costruire il passo base deve risultare possibile considerare l'elemento minimo del dominio della proprietà data. Nell'insieme dei cavalli ovviamente non esiste un elemento minimo. Non è possibile neanche eseguire il passo induttivo in quanto non è definita la funzione di successione secondo cui dato un determinato cavallo possa ricavare il successivo. Nella dimostrazione che hai proposto, nel passo base utilizzi l'insieme costituito da un solo cavallo che non è un elemento del dominio della proposizione da dimostrare che,come abbiamo precedentemente detto è l'insieme dei cavalli. Nel'ipotesi in cui fosse possibile cotruire una funzione biunivoca tra l'insieme dei cavalli e un insieme ben ordinato(come l'insieme N) potremmo allora identificare quest'ultimo con l'insieme dei cavalli e applicare il principio di induzione.
Non sono d'accordo con antonio101. È vero che il numero dei cavalli è finito ma l'induzione si può benissimo applicare ad un insieme finito. Basta numerare i cavalli da 1 a C e procedere con l'induzione fino a C.
Come ripeto il problema è che il passo induttivo da $k$ a $k+1$ (cioè: suppongo che ogni insieme di $k$ cavalli sia dello stesso colore e dimostro che ogni insieme di $k+1$ cavalli è dello stesso colore) funziona solo se $k \geq 2$ quindi fallisce per $k=1$. Per convincersene basta tentare di fare il passo induttivo descritto da Oshawott277 con $k=1$.
Come ripeto il problema è che il passo induttivo da $k$ a $k+1$ (cioè: suppongo che ogni insieme di $k$ cavalli sia dello stesso colore e dimostro che ogni insieme di $k+1$ cavalli è dello stesso colore) funziona solo se $k \geq 2$ quindi fallisce per $k=1$. Per convincersene basta tentare di fare il passo induttivo descritto da Oshawott277 con $k=1$.
"Martino":
Non sono d'accordo con antonio101. È vero che il numero dei cavalli è finito ma l'induzione si può benissimo applicare ad un insieme finito. Basta numerare i cavalli da 1 a C e procedere con l'induzione fino a C.
Ciao Martino
Io non ho affatto detto che il principio di induzione non possa essere applicato ad un insieme finito. Chiamiamo l'insieme dei cavalli $C$ costituito da c elementi e in cui gli elementi sono ordinati da 1 a c. Dobbiamo dimostrare che $AAcinC$ sia vera la seguente proprietà(che è un predicato aperto)
p(c): c ha un determinato colore.
La proposizione "Tutti i cavalli hanno lo stesso colore" discenderà poi dalla verità di p(c)
Ciò che mi fa rimanere perplesso è il fatto di considerare nel passo induttivo l'insieme costituito da k cavalli e dimostrare che p(c) sia vera che per l'insieme di k+1 cavalli, questo perchè il dominio del predicato aperto p(c)(cioè l'insieme da cui prendiamo gli elementi da sostituire in p(c))è l'insieme dei cavalli C costituito da signoli cavalli e non da insiemi di cavalli .
Pertanto (dal momento che i cavalli sono stati ordinati possiamo identificare ciascun cavallo con un elemento di $N_c={ninN:1<=n<=c}$non dovremmo considerare un generico cavallo k e dimostrare che la proprietà p valga anche per il cavallo k+1?
Ciao
Numerati i cavalli da $1$ a $c$, si tratta di mostrare che ogni insieme con $c$ cavalli è composto da cavalli tutti dello stesso colore.
Si può dimostrare questo per induzione sul numero di elementi $k$ di un insieme di cavalli. In altre parole si tratta di mostrare che per ogni $k=1,2,...,c$ si ha "ogni insieme con $k$ cavalli è composto da cavalli tutti dello stesso colore". Questo si può fare per induzione su $k$.
Numerati i cavalli da $1$ a $c$, si tratta di mostrare che ogni insieme con $c$ cavalli è composto da cavalli tutti dello stesso colore.
Si può dimostrare questo per induzione sul numero di elementi $k$ di un insieme di cavalli. In altre parole si tratta di mostrare che per ogni $k=1,2,...,c$ si ha "ogni insieme con $k$ cavalli è composto da cavalli tutti dello stesso colore". Questo si può fare per induzione su $k$.
Secondo me Il problema nella dimostrazione è che l'implicazione da dimostrare per fare funzionare il ragionamento induttivo dovrebbe essere " dato un insieme qualsiasi di k cavalli dello stesso colore, aggiungendone uno qualsiasi ho ancora k+1 cavalli dello stesso colore" mentre invece Tu hai dimostrato " se in ogni insieme di k>1 cavalli, sono tutti dello stesso colore, allora in ogni insieme di k+1 cavalli, sono tutti dello stesso colore"
Questo risultato bizzarro ed ovviamente falso è un ben noto paradosso: il paradosso del cavallo.
È presente nel testo "Induction and Analogy in Mathematics" di Polya e il problema è che nella dimostrazione del passo induttivo si assume implicitamente che l'insieme di \( n \) cavalli ottenuto rimuovendo il primo cavallo dall'insieme di \( n + 1 \) cavalli e l'insieme di \( n \) cavalli ottenuto rimuovendo l'ultimo cavallo dall'insieme di \( n + 1 \) cavalli abbiamo sempre intersezione non vuota. Questa assunzione è sbagliata perché per \( n = 2 \) si ha che, rimuovendo il primo cavallo prima e il secondo poi, restano due singleton la cui intersezione è vuota il che impedisce di transitare l'ipotesi induttiva.
È presente nel testo "Induction and Analogy in Mathematics" di Polya e il problema è che nella dimostrazione del passo induttivo si assume implicitamente che l'insieme di \( n \) cavalli ottenuto rimuovendo il primo cavallo dall'insieme di \( n + 1 \) cavalli e l'insieme di \( n \) cavalli ottenuto rimuovendo l'ultimo cavallo dall'insieme di \( n + 1 \) cavalli abbiamo sempre intersezione non vuota. Questa assunzione è sbagliata perché per \( n = 2 \) si ha che, rimuovendo il primo cavallo prima e il secondo poi, restano due singleton la cui intersezione è vuota il che impedisce di transitare l'ipotesi induttiva.
Si potrebbe anche dire che la base dell'induzione è sempre vera per qualunque $cavallo_i$ per $i=0,...N$ dove $N+1=#{cavalli}$ perché ogni cavallo ha lo stesso colore di se stesso.
Ma il passo induttivo è sempre falso visto che dato un gruppo di $k$ cavalli dello stesso colore non posso affermare che il gruppo di $k+1$ cavalli abbiano tutti lo stesso colore....
Cioè, se penso all'induzione come a tessere del domino che cadono... Le tessere cadono tutte, ma sono tutte troppo distanti l'una dall'altra e nessuna fa cadere la successiva, perciò il passo induttivo fallisce sempre.
In particolare se ho due cavalli, la tesi è vera per i due singleton ma non può essere vera per l'insieme dei due cavalli dato che non c'è alcuna prova scientifica che due cavalli siano dello stesso colore. quindi è falso che
$AA n>=1 P(n)=>P(n+1)$ che è proprio il passo induttivo, e non posso applicare l'induzione.
Potrà anche essere vero da $n=2$ in poi, perché sia ipotesi induttiva e che tesi sono false, ma non lo è per $n=1$
Ma il passo induttivo è sempre falso visto che dato un gruppo di $k$ cavalli dello stesso colore non posso affermare che il gruppo di $k+1$ cavalli abbiano tutti lo stesso colore....
Cioè, se penso all'induzione come a tessere del domino che cadono... Le tessere cadono tutte, ma sono tutte troppo distanti l'una dall'altra e nessuna fa cadere la successiva, perciò il passo induttivo fallisce sempre.
In particolare se ho due cavalli, la tesi è vera per i due singleton ma non può essere vera per l'insieme dei due cavalli dato che non c'è alcuna prova scientifica che due cavalli siano dello stesso colore. quindi è falso che
$AA n>=1 P(n)=>P(n+1)$ che è proprio il passo induttivo, e non posso applicare l'induzione.
Potrà anche essere vero da $n=2$ in poi, perché sia ipotesi induttiva e che tesi sono false, ma non lo è per $n=1$
No.
Il paragone con le tessere del domino che hai fatto è sbagliato perché contraddittorio.
Volendo visualizzare in che modo funziona la dimostrazione per induzione si devono immaginare le tessere del domino separate tra loro da una distanza inferiore all'altezza delle tessere stesse. Se cade la prima tessera, allora cade anche la seconda. Cadendo la seconda, allora cade anche la terza. Cadendo la terza, allora cade anche la quarta e così via, sicché cadono tutte. Se cadono tutte, allora si realizza l'effetto domino. Se si realizza l'effetto domino, allora l'induzione funziona.
Ci sono due motivi per cui l'effetto domino non si realizza:
1. la prima tessera non cade;
2. almeno una coppia di tessere consecutive è separata da una distanza maggiore dell'altezza delle tessere stesse, sicché pur cadendo la prima delle due, la seconda non cade.
Il fatto che la prima tessera debba cadere è il passo base; il fatto che ogni coppia di tessere consecutive debba essere separata da una distanza minore dell'altezza delle tessere stesse sicché cadendo la prima possa cadere anche la seconda è il passo induttivo.
Posto ciò, affermare prima che le tessere cadono tutte e dopo che sono tutte troppo distanti e nessuna fa cadere la successiva è una contraddizione: o c'è la distanza giuste tra le tessere e, cadendo la prima, cadono tutte oppure sono tutte troppo distanti e che cada la prima o meno non ha importanza alcuna.
Inoltre non è affatto necessario che il passo induttivo fallisca sempre per fare in modo che l'induzione fallisca. È sufficiente che o fallisca il passo base (il punto 1 di cui sopra) o fallisca in almeno un caso il passo induttivo (il punto 2 di cui sopra). Infatti il passo induttivo quantifica universalmente sulla variabile dell'induzione dove il quantificatore universale può essere pensato come equivalente ad una iterazione di congiunzioni di infiniti passi induttivi: i.e. la formula \( \forall n, P(n) \implies P(n+1) \) si può pensare come equivalente a
\[ (P(n) \implies P(n+1)) \land (P(n+1) \implies P((n+1)+1)) \land (P((n+1)+1) \implies P(((n+1)+1)+1)) \land \ldots \]
da cui è evidente che non è necessario che il passo induttivo fallisca sempre (posto che il passo base riesca) ma è sufficiente che fallisca anche solo una volta, il che è esattamente quello che succede in questo paradosso.
Il punto infatti non è che
Il passo induttivo è falso nel passaggio da \( k = 1 \) a \( k = 2 \), i.e., per fare il paragone con le tessere del domino, la prima tessera cade, tra la prima e la seconda tessera che c'è troppa distanza e tra le altre c'è invece la giusta distanza, ecco perché apparentemente questa dimostrazione funziona. Se il passo induttivo fosse sempre falso, significherebbe che la distanza tra le tessere è sempre sbagliata ma a questo punto la dimostrazione non funzionerebbe nemmeno all'apparenza e non ci sarebbe alcun paradosso.
Supponiamo per un momento che dato un insieme con \( k = 2 \) cavalli sia vero che questi sono dello stesso colore. Prendiamo allora l'insieme \( \{ A, B, C \} \) ove \( A \), \( B \) e \( C \) sono tre cavalli. Consideriamo gli insiemi \( \{ A, B \} \) e \( \{ B, C \} \). I cavalli \( A \) e \( B \) hanno lo stesso colore perché \( \{ A, B \} \) è un insieme con \( k = 2 \) cavalli; i cavalli \( B \) e \( C \) pure hanno lo stesso colore perché \( \{ B, C \} \) è un insieme con \( k = 2 \) cavalli; gli insiemi \( \{ A, B \} \) e \( \{ B, C \} \) hanno intersezione non vuota e più precisamente \( \{ A, B \} \cap \{ B, C \} = \{ B \} \) e questo fa sì che sia possibile far transitare il colore da \( A \) a \( C \) perché \( A \) ha lo stesso colore di \( B \) e \( B \) ha lo stesso colore di \( C \), sicché \( A \) ha lo stesso colore di \( C \).
Ciò che è centrale in quanto sopra non è tanto il fatto che si sia supposto che dato un insieme con \( k = 2 \) cavalli sia vero che questi sono dello stesso colore. Ciò che è importante è che è possibile estrarre dall'insieme con \( 3 \) cavalli due insiemi di due cavalli (per ciascun insieme dei quali vale l'assunzione sull'uguale colorazione dei cavalli che vi appartengono) che hanno almeno un cavallo in comune, in modo che la colorazione possa transitare dal primo all'ultimo cavallo.
Provato come sopra è stato fatto che i cavalli di \( \{ A, B, C \} \) hanno colorazione uniforme, allora si può provare che anche i cavalli di \( \{ A, B, C, D \} \) hanno colorazione uniforme perché anche in questo caso è possibile estrarre dall'insieme \( \{ A, B, C, D \} \) che ha \( k = 4 \) cavalli due sottoinsiemi di \( k = 3 \) cavalli per ciascun sottoinsieme dei quali sussiste l'uniformità di colorazione e tali da avere intersezione non vuota sicché è nuovamente possibile far transitare la colorazione.
Il problema non è quindi che il passo induttivo fallisce sempre perché a partire dalla tessera \( 2 \) la distanza tra le tessere è buona; il problema è che il passo induttivo fallisce tra la tessera \( 1 \) e la tessera \( 2 \).
Infatti è vero che in un insieme con \( k = 1 \) cavalli la colorazione dei cavalli è uniforme perché l'insieme è del tipo \( \{ A \} \) e ovviamente il colore di del cavallo \( A \) è uniforme con sé stesso. Nel momento in cui si passa da un insieme con \( k = 1 \) cavalli ad uno con \( k = 2 \) cavalli c'è l'intoppo perché dall'insieme \( \{ A, B \} \) si possono estrarre solo i singleton \( \{ A \} \) e \( \{ B \} \) la cui intersezione è vuota sicché, pur essendo vera l'ipotesi induttiva (in ciascuno dei due singleton il colore è uniforme), è falsa la tesi induttiva perché non c'è l'elemento in comune che fa transitare la colorazione.
Il problema non è dunque nella forma del passo induttivo. Il problema è nell'applicazione del passo induttivo che dovrebbe essere valido per ogni \( k \in \mathbb{N} \), anche per il \( k \) usato nel passo base, cosa che non accade in questo caso dove infatti non vale \( P(1) \implies P(2) \). Quindi il problema, per dirla usando le tessere del domino, è che la distanza tra la tessera \( 1 \) (la quale tessera cade) è maggiore dell'altezza della tessera stessa, sicché la tessera \( 2 \) non cade. Ma se questa arrivasse a cadere, allora cadrebbero tutte quante le altre.
Il paragone con le tessere del domino che hai fatto è sbagliato perché contraddittorio.
Volendo visualizzare in che modo funziona la dimostrazione per induzione si devono immaginare le tessere del domino separate tra loro da una distanza inferiore all'altezza delle tessere stesse. Se cade la prima tessera, allora cade anche la seconda. Cadendo la seconda, allora cade anche la terza. Cadendo la terza, allora cade anche la quarta e così via, sicché cadono tutte. Se cadono tutte, allora si realizza l'effetto domino. Se si realizza l'effetto domino, allora l'induzione funziona.
Ci sono due motivi per cui l'effetto domino non si realizza:
1. la prima tessera non cade;
2. almeno una coppia di tessere consecutive è separata da una distanza maggiore dell'altezza delle tessere stesse, sicché pur cadendo la prima delle due, la seconda non cade.
Il fatto che la prima tessera debba cadere è il passo base; il fatto che ogni coppia di tessere consecutive debba essere separata da una distanza minore dell'altezza delle tessere stesse sicché cadendo la prima possa cadere anche la seconda è il passo induttivo.
Posto ciò, affermare prima che le tessere cadono tutte e dopo che sono tutte troppo distanti e nessuna fa cadere la successiva è una contraddizione: o c'è la distanza giuste tra le tessere e, cadendo la prima, cadono tutte oppure sono tutte troppo distanti e che cada la prima o meno non ha importanza alcuna.
Inoltre non è affatto necessario che il passo induttivo fallisca sempre per fare in modo che l'induzione fallisca. È sufficiente che o fallisca il passo base (il punto 1 di cui sopra) o fallisca in almeno un caso il passo induttivo (il punto 2 di cui sopra). Infatti il passo induttivo quantifica universalmente sulla variabile dell'induzione dove il quantificatore universale può essere pensato come equivalente ad una iterazione di congiunzioni di infiniti passi induttivi: i.e. la formula \( \forall n, P(n) \implies P(n+1) \) si può pensare come equivalente a
\[ (P(n) \implies P(n+1)) \land (P(n+1) \implies P((n+1)+1)) \land (P((n+1)+1) \implies P(((n+1)+1)+1)) \land \ldots \]
da cui è evidente che non è necessario che il passo induttivo fallisca sempre (posto che il passo base riesca) ma è sufficiente che fallisca anche solo una volta, il che è esattamente quello che succede in questo paradosso.
Il punto infatti non è che
"Oshawott277":
il passo induttivo è sempre falso visto che dato un gruppo di \( k \) cavalli dello stesso colore non posso affermare che il gruppo di \( k+1 \) cavalli abbiano tutti lo stesso colore
Il passo induttivo è falso nel passaggio da \( k = 1 \) a \( k = 2 \), i.e., per fare il paragone con le tessere del domino, la prima tessera cade, tra la prima e la seconda tessera che c'è troppa distanza e tra le altre c'è invece la giusta distanza, ecco perché apparentemente questa dimostrazione funziona. Se il passo induttivo fosse sempre falso, significherebbe che la distanza tra le tessere è sempre sbagliata ma a questo punto la dimostrazione non funzionerebbe nemmeno all'apparenza e non ci sarebbe alcun paradosso.
Supponiamo per un momento che dato un insieme con \( k = 2 \) cavalli sia vero che questi sono dello stesso colore. Prendiamo allora l'insieme \( \{ A, B, C \} \) ove \( A \), \( B \) e \( C \) sono tre cavalli. Consideriamo gli insiemi \( \{ A, B \} \) e \( \{ B, C \} \). I cavalli \( A \) e \( B \) hanno lo stesso colore perché \( \{ A, B \} \) è un insieme con \( k = 2 \) cavalli; i cavalli \( B \) e \( C \) pure hanno lo stesso colore perché \( \{ B, C \} \) è un insieme con \( k = 2 \) cavalli; gli insiemi \( \{ A, B \} \) e \( \{ B, C \} \) hanno intersezione non vuota e più precisamente \( \{ A, B \} \cap \{ B, C \} = \{ B \} \) e questo fa sì che sia possibile far transitare il colore da \( A \) a \( C \) perché \( A \) ha lo stesso colore di \( B \) e \( B \) ha lo stesso colore di \( C \), sicché \( A \) ha lo stesso colore di \( C \).
Ciò che è centrale in quanto sopra non è tanto il fatto che si sia supposto che dato un insieme con \( k = 2 \) cavalli sia vero che questi sono dello stesso colore. Ciò che è importante è che è possibile estrarre dall'insieme con \( 3 \) cavalli due insiemi di due cavalli (per ciascun insieme dei quali vale l'assunzione sull'uguale colorazione dei cavalli che vi appartengono) che hanno almeno un cavallo in comune, in modo che la colorazione possa transitare dal primo all'ultimo cavallo.
Provato come sopra è stato fatto che i cavalli di \( \{ A, B, C \} \) hanno colorazione uniforme, allora si può provare che anche i cavalli di \( \{ A, B, C, D \} \) hanno colorazione uniforme perché anche in questo caso è possibile estrarre dall'insieme \( \{ A, B, C, D \} \) che ha \( k = 4 \) cavalli due sottoinsiemi di \( k = 3 \) cavalli per ciascun sottoinsieme dei quali sussiste l'uniformità di colorazione e tali da avere intersezione non vuota sicché è nuovamente possibile far transitare la colorazione.
Il problema non è quindi che il passo induttivo fallisce sempre perché a partire dalla tessera \( 2 \) la distanza tra le tessere è buona; il problema è che il passo induttivo fallisce tra la tessera \( 1 \) e la tessera \( 2 \).
Infatti è vero che in un insieme con \( k = 1 \) cavalli la colorazione dei cavalli è uniforme perché l'insieme è del tipo \( \{ A \} \) e ovviamente il colore di del cavallo \( A \) è uniforme con sé stesso. Nel momento in cui si passa da un insieme con \( k = 1 \) cavalli ad uno con \( k = 2 \) cavalli c'è l'intoppo perché dall'insieme \( \{ A, B \} \) si possono estrarre solo i singleton \( \{ A \} \) e \( \{ B \} \) la cui intersezione è vuota sicché, pur essendo vera l'ipotesi induttiva (in ciascuno dei due singleton il colore è uniforme), è falsa la tesi induttiva perché non c'è l'elemento in comune che fa transitare la colorazione.
Il problema non è dunque nella forma del passo induttivo. Il problema è nell'applicazione del passo induttivo che dovrebbe essere valido per ogni \( k \in \mathbb{N} \), anche per il \( k \) usato nel passo base, cosa che non accade in questo caso dove infatti non vale \( P(1) \implies P(2) \). Quindi il problema, per dirla usando le tessere del domino, è che la distanza tra la tessera \( 1 \) (la quale tessera cade) è maggiore dell'altezza della tessera stessa, sicché la tessera \( 2 \) non cade. Ma se questa arrivasse a cadere, allora cadrebbero tutte quante le altre.
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