Trovare tutti i numeri naturali.....
ciao a tutti qualcuno mi sa dire come trovare tutti i numeri naturali n per cui vale $2^n>n^3+n^2+2$
grazie 1000
grazie 1000
Risposte
Suppongo si possa fare per induzione... ma adesso non ho trovato una strada intelligente per farlo. Ti propongo una soluzione analitica:
[tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + n^2 +2}{2^n} = 0[/tex], quindi per ogni [tex]\epsilon > 0[/tex] la disuguaglianza [tex]n^3 + n^2 + 2 < \epsilon 2^n[/tex] è verificata definitivamente. Prendendo [tex]\epsilon = 1[/tex] otteniamo che [tex]n^3 + n^2 +2 < 2^n[/tex] per ogni [tex]n > \overline{n}[/tex], per [tex]\overline{n}[/tex] sufficientemente grande.
Venendo alle quantità: osservo che se [tex]n > 5[/tex] la disuguaglianza [tex]6n+8 < 2^n[/tex] è verificata. Quindi per [tex]n > 5[/tex], supponendo che [tex]3n^2 + 5n +2 < 2^n[/tex] otteniamo [tex]3(n+1)^2+ 5(n+1) +2 = (3n^2 +5n +2) + 6n+8 < 2^n + 2^n = 2^{n+1}[/tex]. Pertanto [tex]3n^2 + 5n +2 < 2^n[/tex] definitivamente. Il primo [tex]n[/tex] che soddisfa la precedente disuguaglianza è [tex]n = 8[/tex] (facile verifica).
In conclusione, se assumiamo che [tex]n^3 + n^2 + 2 < 2^n[/tex] allora se [tex]n > 8[/tex] otteniamo [tex](n+1)^3 + (n+1)^2 + 2 = (n^3 + n^2 +2) + 3n^2 + 5n + 2 < 2^n + 2^n = 2^{n+1}[/tex], sicché otteniamo per induzione che la tua disuguaglianza è soddisfatta definitivamente e che se vale per un [tex]n[/tex] allora vale per tutti gli interi a lui successivi. Un rapido conto numerico mostra che il primo [tex]n[/tex] con questa proprietà è [tex]n = 11[/tex].
Pertanto i numeri da te cercati sono gli [tex]n \ge 11[/tex].
P.S. Ho fatto un po' di casino nell'esposizione. Forse ti conviene leggere partendo dall'ultimo paragrafo ed andando a ritroso...
[tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + n^2 +2}{2^n} = 0[/tex], quindi per ogni [tex]\epsilon > 0[/tex] la disuguaglianza [tex]n^3 + n^2 + 2 < \epsilon 2^n[/tex] è verificata definitivamente. Prendendo [tex]\epsilon = 1[/tex] otteniamo che [tex]n^3 + n^2 +2 < 2^n[/tex] per ogni [tex]n > \overline{n}[/tex], per [tex]\overline{n}[/tex] sufficientemente grande.
Venendo alle quantità: osservo che se [tex]n > 5[/tex] la disuguaglianza [tex]6n+8 < 2^n[/tex] è verificata. Quindi per [tex]n > 5[/tex], supponendo che [tex]3n^2 + 5n +2 < 2^n[/tex] otteniamo [tex]3(n+1)^2+ 5(n+1) +2 = (3n^2 +5n +2) + 6n+8 < 2^n + 2^n = 2^{n+1}[/tex]. Pertanto [tex]3n^2 + 5n +2 < 2^n[/tex] definitivamente. Il primo [tex]n[/tex] che soddisfa la precedente disuguaglianza è [tex]n = 8[/tex] (facile verifica).
In conclusione, se assumiamo che [tex]n^3 + n^2 + 2 < 2^n[/tex] allora se [tex]n > 8[/tex] otteniamo [tex](n+1)^3 + (n+1)^2 + 2 = (n^3 + n^2 +2) + 3n^2 + 5n + 2 < 2^n + 2^n = 2^{n+1}[/tex], sicché otteniamo per induzione che la tua disuguaglianza è soddisfatta definitivamente e che se vale per un [tex]n[/tex] allora vale per tutti gli interi a lui successivi. Un rapido conto numerico mostra che il primo [tex]n[/tex] con questa proprietà è [tex]n = 11[/tex].
Pertanto i numeri da te cercati sono gli [tex]n \ge 11[/tex].
P.S. Ho fatto un po' di casino nell'esposizione. Forse ti conviene leggere partendo dall'ultimo paragrafo ed andando a ritroso...
grazie, ho trovato lo svolgimento di un esercizio simile che segue l'induzione, appena potrò lo posterò
grazie ancora.
grazie ancora.
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