Trovare sottogruppi
Ciao a tutti , ho il seguente esercizio:
"Determinare i sottogruppi normali di $S_3$"
Per determinare i sottogruppi , ho trovato questi:
Ordine 2:$ ⟨id, p⟩$ (p è una trasposizione qualunque )
Ordine 3: $⟨id, (123), (132)⟩$
Però non so proprio come determinare quali fra questi sono normali.
Vi ringrazio per l'attenzione
"Determinare i sottogruppi normali di $S_3$"
Per determinare i sottogruppi , ho trovato questi:
Ordine 2:$ ⟨id, p⟩$ (p è una trasposizione qualunque )
Ordine 3: $⟨id, (123), (132)⟩$
Però non so proprio come determinare quali fra questi sono normali.
Vi ringrazio per l'attenzione
Risposte
Quale di quei due sottogruppi è l'unione delle classi coniugate dei suoi elementi?
scusa è l'inizio che sto studiando queste cose, che intendi per "classi coniugate"?
Prima di spiegarti cosa siano le classi coniugate è bene capire da quale relazione di equivalenza derivino queste classi. Questa relazione è detta appunto relazione di coniugio, mi spiego meglio, l'applicazione che va da $G×G$ a $G$ :
$$(g,H) \rightarrow hgh^{-1}$$
definisce un'azione di G in se stesso chiamata appunto azionie di coniugio. La relazione associata ad essa si dice relazione di coniugio, che puoi verificare essere una relazione di equivalenza e come tale partisce il gruppo in classi di equivalenza (classi coniugate):
$$Cl(g)={hgh^{-1}| h \in G}$$
Ovvero tutti gli elementi di $G$ che stanno in relazione di coniugio con $g$, dunque due elementi si dicono coniugati se e solo se appartengono alla stessa classe coniugata.
Quando due elementi di $S_n$ sono coniugati?
Esempio. $Cl((1\ 2))={(1\ 2),(1\ 3), (2\ 3)}=Cl((1\ 3))=Cl((2\ 3))$ formata da tutte e sole le permutazioni di $S_3$ che hanno la stessa struttura ciclica.
Cosa centra tutto ciò con i sottogruppi normali di $S_n$?
Il legame lo si capisce bene dalla seguente proposizione:
Esempio. Prendiamo l' unione delle classi coniugate $Cl(e)={e}$ e $Cl((1\ 2\ 3))={(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)}$ e vediamo se $Cl(e) uu Cl((1\ 2\ 3))={e, (1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)}$ è un sottogruppo, in caso affermativo allora è normale altrimenti non lo è. Noi sappiamo che gli unici sottogruppi di $S_3$ sono quelli banali e quei due che hai detto dunque non essendo il sottogruppo ${e, p}$ unione di classi coniugate (ricordiamo essere 3 in $S_3$[nota]Per trovare il numero di classi coniugate di $S_n$ basta che conti in quanti modi possiamo scrivere $n$ come somma di numeri. Esempio 3=1+1+1=1+2=3+0[/nota])
dunque non sarà nemmeno normale.
$$(g,H) \rightarrow hgh^{-1}$$
definisce un'azione di G in se stesso chiamata appunto azionie di coniugio. La relazione associata ad essa si dice relazione di coniugio, che puoi verificare essere una relazione di equivalenza e come tale partisce il gruppo in classi di equivalenza (classi coniugate):
$$Cl(g)={hgh^{-1}| h \in G}$$
Ovvero tutti gli elementi di $G$ che stanno in relazione di coniugio con $g$, dunque due elementi si dicono coniugati se e solo se appartengono alla stessa classe coniugata.
Quando due elementi di $S_n$ sono coniugati?
Due elementi di $S_n$ sono coniugati se e solo se hanno la stessa struttura ciclica[nota]Spero tu sappia cosa sia[/nota]
Esempio. $Cl((1\ 2))={(1\ 2),(1\ 3), (2\ 3)}=Cl((1\ 3))=Cl((2\ 3))$ formata da tutte e sole le permutazioni di $S_3$ che hanno la stessa struttura ciclica.
Cosa centra tutto ciò con i sottogruppi normali di $S_n$?
Il legame lo si capisce bene dalla seguente proposizione:
Un sottogruppo di $S_n$ (in generale di un gruppo qualsiasi) è normale se e solo se è unione delle classi coniugare dei suoi elementi
Esempio. Prendiamo l' unione delle classi coniugate $Cl(e)={e}$ e $Cl((1\ 2\ 3))={(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)}$ e vediamo se $Cl(e) uu Cl((1\ 2\ 3))={e, (1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)}$ è un sottogruppo, in caso affermativo allora è normale altrimenti non lo è. Noi sappiamo che gli unici sottogruppi di $S_3$ sono quelli banali e quei due che hai detto dunque non essendo il sottogruppo ${e, p}$ unione di classi coniugate (ricordiamo essere 3 in $S_3$[nota]Per trovare il numero di classi coniugate di $S_n$ basta che conti in quanti modi possiamo scrivere $n$ come somma di numeri. Esempio 3=1+1+1=1+2=3+0[/nota])
dunque non sarà nemmeno normale.
Ciao,scusami se ti ho risposto solo oggi solo che mi sono dovuto studiare bene l'argomento, ed ho notato che il professore non ha trattati classi di coniugo o cose del genere, quindi come potrei fare?
questo detto da te è l'unico modo per risolvere l'esercizio? Altrimenti mi rimane solo da applicare la definizione
È l'unico modo che conosco...
Prova a trovare i sottogruppi normali del gruppo diedrale $D_3$, dato che $S_3 ~=D_3$.
Prova a trovare i sottogruppi normali del gruppo diedrale $D_3$, dato che $S_3 ~=D_3$.
è sbagliato applicare la definizione di sottogruppo normale?
No, non lo è. Il metodo di dan è comunque quello di usare la definizione di sottogruppo normale, solo che sfrutta le proprietà del gruppo simmetrico per ridurre i calcoli.
a ok no perché purtroppo l'unica strada che posso prendere è quella perché il professore non ha spiegato strutture cicliche o cose del genere. Ho applicato la definizione ed è veramente lunga la cosa
Sicuro che non abbia spiegato nulla del gruppo simmetrico? Insomma sono nozioni abbastanza importanti, al di là del programma del corso. In un certo senso il gruppo simmetrico e i gruppi lineari, che vedi in algebra lineare, sono i gruppi più importanti.
no ho controllato anche nei suoi appunti online ma niente
Conosco almeno due modi in cui si definiscono i sottogruppi normali in un corso base di algebra:
- primo modo: un sottogruppo $H$ di $G$ e' normale se, per ogni $g \in G$ la classe laterale $gH$ e' uguale (come insieme) alla classe laterale $Hg$.
- secondo modo: un sottogruppo $H$ di $G$ e' normale se, per ogni $h \in H$ e ogni $g \in G$, l'elemento $g^{-1}hg$ appartiene ad $H$.
Hai una di queste due definizioni? Prendendo una delle due definizioni, sapresti dimostrare che anche l'altra proprieta' vale?
Comunque, con una di queste due definizioni, l'esercizio e' abbastanza immediato: basta mettersi a fare due conticini, e visto che $S_3$ ha solo $6$ elementi prende al massimo $6$ righe, $12$ a scrivere largo largo.
- primo modo: un sottogruppo $H$ di $G$ e' normale se, per ogni $g \in G$ la classe laterale $gH$ e' uguale (come insieme) alla classe laterale $Hg$.
- secondo modo: un sottogruppo $H$ di $G$ e' normale se, per ogni $h \in H$ e ogni $g \in G$, l'elemento $g^{-1}hg$ appartiene ad $H$.
Hai una di queste due definizioni? Prendendo una delle due definizioni, sapresti dimostrare che anche l'altra proprieta' vale?
Comunque, con una di queste due definizioni, l'esercizio e' abbastanza immediato: basta mettersi a fare due conticini, e visto che $S_3$ ha solo $6$ elementi prende al massimo $6$ righe, $12$ a scrivere largo largo.
io per risolvere l'esercizio ho applicato proprio la definizione, in particolare la prima citata da te, solo che pensavo potessi usare altri modi più veloci(per esempio nel caso di S4 i conti aumentano di tanto)
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