Trovare soluzioni di una equazione
Salve a tutti!
Sto cercando di trovare le soluzioni in $\lambda$ dell'equazione
$\sum_{j=0}^{N-1}\lambda^{N-j}(1-\lambda)^j((N-j+1)/N(b-c))+\lambda^{N-j-1}(1-\lambda)^{j+1}((N-j-1)/N(b-c)+c)-(N-1)/N(b-c)(1-(cN)/((N-1)(b-c)))^{N-1}=0$
non so se c'e' una formula chiusa in $N, b, c$ e quindi direi che possiamo fissare, per cominciare, $N=3$, $b=7$ e $c=1$. Se la teoria sottostante non e' sbagliata e sei miei conti sono giusti, questa equazione dovrebbe ammettere un'unica soluzione nell'intervallo $[0,1]$. Sono interessato a determinare numericamente questa soluzione (e plottarla al variare di una variabile fra $n,b,c$ e le altre due fissate).
Stavo provando con Matlab, ma mi sto impiccando da un paio d'ore… se qualcuno più smaliziato di me ci riuscisse e mi potesse mandare il codice, ecco, questo sarebbe veramente fantastico!
Ecco qui sotto il codice che ho usato e gli errori (che non capisco) che Matlab mi riporta (notare che per semplicità non avevo messo il termine noto):
syms l k
N=3;
b=7;
c=1;
S=symsum(l^(N-k)*(1-l)^k*((N-k+1)/N*(b-c))+l^(N-k-1)*(1-l)^(k+1)*((N-1-k)/N*(b-c)+c), k, 0, N-1);
Error using mupadmex
Error in MuPAD command: The number of arguments is incorrect. [has]
Evaluating: sum
Error in sym/symsum (line 65)
rSym = mupadmex('symobj::map',f.s,'symobj::symsum',x.s,a.s,b.s);
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Valerio
Sto cercando di trovare le soluzioni in $\lambda$ dell'equazione
$\sum_{j=0}^{N-1}\lambda^{N-j}(1-\lambda)^j((N-j+1)/N(b-c))+\lambda^{N-j-1}(1-\lambda)^{j+1}((N-j-1)/N(b-c)+c)-(N-1)/N(b-c)(1-(cN)/((N-1)(b-c)))^{N-1}=0$
non so se c'e' una formula chiusa in $N, b, c$ e quindi direi che possiamo fissare, per cominciare, $N=3$, $b=7$ e $c=1$. Se la teoria sottostante non e' sbagliata e sei miei conti sono giusti, questa equazione dovrebbe ammettere un'unica soluzione nell'intervallo $[0,1]$. Sono interessato a determinare numericamente questa soluzione (e plottarla al variare di una variabile fra $n,b,c$ e le altre due fissate).
Stavo provando con Matlab, ma mi sto impiccando da un paio d'ore… se qualcuno più smaliziato di me ci riuscisse e mi potesse mandare il codice, ecco, questo sarebbe veramente fantastico!
Ecco qui sotto il codice che ho usato e gli errori (che non capisco) che Matlab mi riporta (notare che per semplicità non avevo messo il termine noto):
syms l k
N=3;
b=7;
c=1;
S=symsum(l^(N-k)*(1-l)^k*((N-k+1)/N*(b-c))+l^(N-k-1)*(1-l)^(k+1)*((N-1-k)/N*(b-c)+c), k, 0, N-1);
Error using mupadmex
Error in MuPAD command: The number of arguments is incorrect. [has]
Evaluating: sum
Error in sym/symsum (line 65)
rSym = mupadmex('symobj::map',f.s,'symobj::symsum',x.s,a.s,b.s);
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Valerio
Risposte
Grazie mille! E' molto utile! Sto scaricando Mathematica, così me lo rivedo da solo.. ci sono varie cose che non mi tornano, a partire dalle discontinuità, per arrivare alle soluzioni >1. Ma e' possibile che abbia ricavato male io l'equazione.. ma l'importante ora e' avere un codice funzionante che posso facilmente modificare. Grazie ancora!
"Valerio Capraro":
E' molto utile! Sto scaricando Mathematica,
Il software proprietario non si "Scarica" ma si acquista.
E' proprio la versione trial infatti che ho provato a scaricare, ma non mi funziona: quando metto l'activation key, mi dice che non e' nel "formato corretto". Ho mandato una mail e spero che mi rispondano presto..
Ancora non ho risolto il problema con l'activation key, ma in compenso credo di aver trovato l'errore nella formula.. se mi puoi aiutare ancora a plottarla, ne sarei molto grato. Lasciami dire esplicitamente che devo inserire queste figure nella revisione che mi e' stata richiesta per un articolo e quindi, qualora continuassi ad aiutarmi, sarei lieto di inserire il tuo nome negli acknowledgements…
L'equazione corretta da risolvere dovrebbe essere:
\(\sum_{j=0}^{N-1}\left[\lambda\binom{N-1}{N-1-j}\lambda^{N-1-j}(1-\lambda)^j\left(\frac{N-1-j}{N}(b-c)\right)+(1-\lambda)\binom{N-1}{N-1-j}\lambda^{N-1-j}(1-\lambda)^j\left(\frac{N-1-j}{N}(b-c)+c\right)\right]-\frac{N-1}{N}(b-c)\left(1-\frac{cN}{(N-1)(b-c)}\right)^{N-1}=0\)
Sperando che sei disposto/a ad aiutarmi, direi di cominciare fissando $b=7, c=1$ e plottare le soluzioni $\lambda\in[0,1]$ per $N=2…10$.
$\lambda$ dovrebbe essere continua nella variabile $N$, mentre non e' chiaro se sia decrescente, oppure comincia crescente per piccoli valori di $N$ e poi diventa decrescente…
Grazie in anticipo per l'aiuto!
L'equazione corretta da risolvere dovrebbe essere:
\(\sum_{j=0}^{N-1}\left[\lambda\binom{N-1}{N-1-j}\lambda^{N-1-j}(1-\lambda)^j\left(\frac{N-1-j}{N}(b-c)\right)+(1-\lambda)\binom{N-1}{N-1-j}\lambda^{N-1-j}(1-\lambda)^j\left(\frac{N-1-j}{N}(b-c)+c\right)\right]-\frac{N-1}{N}(b-c)\left(1-\frac{cN}{(N-1)(b-c)}\right)^{N-1}=0\)
Sperando che sei disposto/a ad aiutarmi, direi di cominciare fissando $b=7, c=1$ e plottare le soluzioni $\lambda\in[0,1]$ per $N=2…10$.
$\lambda$ dovrebbe essere continua nella variabile $N$, mentre non e' chiaro se sia decrescente, oppure comincia crescente per piccoli valori di $N$ e poi diventa decrescente…
Grazie in anticipo per l'aiuto!
wow! Immaginavo che c'era una semplificazione, ma, così bella, neanche nei miei sogni migliori! Grazie di nuovo!
Uhm… questo $b-2c$ al denominatore mi crea un sacco di problemi. Per esempio per certi valori di $b,c, N$ mi da soluzioni $>1$ che NON devono esistere. Sei sicuro/a che sia $b-2c$ al denominatore e non $b-c$? Nel frattempo provo a ricontrollare il procedimento per ricavare sta formula.. non vorrei essermi sbagliato un'altra volta..
ho capito! Il tutto vale sotto la condizione \(\frac{N-1}{N}(b-c)>c\)… sembra che le soluzioni maggiori di 1 spariscano se si tiene conto di questa condizione..
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