Trovare nucleo di un omomorfismo.
Ciao a tutti.
Sono alle prese con un esercizio che mi chiede di trovare il nucleo di due omomorfismi.
L'omomorfismo è: $\varphi_1 : Z[x] -> R$ e $\varphi_2 : Z[x] -> C$
definiti da $\varphi_1 ( f(x) = f(sqrt(2)))$ e $\varphi_2 ( f(x) = f(1+i))$
Il primo nucleo dovrebbe essere $Ker(\varphi_1) :={g(x) in Z[x] |g(f(x)) = 0 in R}
E quindi $Ker(\varphi_1) = x^2 - 2$
Non so se è giusto.
Voi che dite?
Grazie
Sono alle prese con un esercizio che mi chiede di trovare il nucleo di due omomorfismi.
L'omomorfismo è: $\varphi_1 : Z[x] -> R$ e $\varphi_2 : Z[x] -> C$
definiti da $\varphi_1 ( f(x) = f(sqrt(2)))$ e $\varphi_2 ( f(x) = f(1+i))$
Il primo nucleo dovrebbe essere $Ker(\varphi_1) :={g(x) in Z[x] |g(f(x)) = 0 in R}
E quindi $Ker(\varphi_1) = x^2 - 2$
Non so se è giusto.
Voi che dite?
Grazie
Risposte
Ciao.
Fammi capire se ho capito bene. Prendiamo $phi_1: ZZ[x] to RR$ che lavora così $phi_1(f(x))=f(\sqrt2)$. Giusto? Praticamente sarebbe l'omomorfismo valutazione in $sqrt2$.
Bene, se è così ti devi chiedere: quali sono i polinomi in $ZZ[x]$ che si annullano in $sqrt2$? Tutti i multipli di $x^2-2$. Dunque $"ker"phi_1=(x^2-2)$ (ideale principale generato da $x^2-2$).
Direi quindi che hai fatto bene.
P.S. Ho riscritto il ragionamento perchè il tuo post mi pare un po' confuso con alcune parentesi e simboli in libertà...
Fammi capire se ho capito bene. Prendiamo $phi_1: ZZ[x] to RR$ che lavora così $phi_1(f(x))=f(\sqrt2)$. Giusto? Praticamente sarebbe l'omomorfismo valutazione in $sqrt2$.
Bene, se è così ti devi chiedere: quali sono i polinomi in $ZZ[x]$ che si annullano in $sqrt2$? Tutti i multipli di $x^2-2$. Dunque $"ker"phi_1=(x^2-2)$ (ideale principale generato da $x^2-2$).
Direi quindi che hai fatto bene.
P.S. Ho riscritto il ragionamento perchè il tuo post mi pare un po' confuso con alcune parentesi e simboli in libertà...
Innanzi tutto grazie della risposta.
Sono contento perchè vuol dire che comincio a comprendere qualcosa.
Cmq l'esercizio è proprio quello che dici tu.
Deduco quindi che il nucleo del'omomorfismo di $\varphi_2$ è $Ker(\varphi_2) = x -1-i$ che fa si che gli elementi si annullino in $C$
L'esercizio mi chiede di trovare anche $Im\varphi$ e qui invece sono più confuso.
Sono contento perchè vuol dire che comincio a comprendere qualcosa.
Cmq l'esercizio è proprio quello che dici tu.
Deduco quindi che il nucleo del'omomorfismo di $\varphi_2$ è $Ker(\varphi_2) = x -1-i$ che fa si che gli elementi si annullino in $C$
L'esercizio mi chiede di trovare anche $Im\varphi$ e qui invece sono più confuso.
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