Trovare l'inverso in un campo di polinomi
ragazzi ho un esercizio che mi chiede di trovare l'inverso dell'elemento $ x+1+(x^2+2) $ nel campo $ (R[x])/(x^2+2) $
io ho fatto in questa maniera:
osservando che $(x^2+2) , x+1 $ sono due polinomi irriducibili e che conseguentemente l'anello quoziente dato risulta essere un campo,utilizzando l'uguaglianza di Bézout ho trovato che $ (x^2+2)+1=s(x)(x+1)+(x^2+2) =>(s(x)+(x^2+2))((x+1)+(x^2+2))=1+(x^2+2)$ da qui ottengo $ s(x)=-x $ l'inverso risulta: $-x+(x^2+2)$
non mi quadra molto però..anche perchè sul mio libro nn ci sono esempi e non ho un buon eserciziario...ho sbagliato? cosa dovrei rivedere?che ne pensate?
io ho fatto in questa maniera:
osservando che $(x^2+2) , x+1 $ sono due polinomi irriducibili e che conseguentemente l'anello quoziente dato risulta essere un campo,utilizzando l'uguaglianza di Bézout ho trovato che $ (x^2+2)+1=s(x)(x+1)+(x^2+2) =>(s(x)+(x^2+2))((x+1)+(x^2+2))=1+(x^2+2)$ da qui ottengo $ s(x)=-x $ l'inverso risulta: $-x+(x^2+2)$
non mi quadra molto però..anche perchè sul mio libro nn ci sono esempi e non ho un buon eserciziario...ho sbagliato? cosa dovrei rivedere?che ne pensate?
Risposte
penso che la mia risoluzione sia sbagliata perchè moltiplicando il polinomio dato con l'inverso che ho trovato non esce l'identità...qualcuno sa illuminarmi?
$(x+1)p(x)=x^2+3-> p(x)=(x^2+3)/(x+1) -> (x+1)^-1 = (x-1) +4(x+1)^-1-> (x+1)^-1=1/3 -x/3$
Vediamo se funziona:
$(x+1)(1/3 -x/3)=1/3 -x^2/3=1 -(x^2 +2)/3$
Fuziona!
Vediamo se funziona:
$(x+1)(1/3 -x/3)=1/3 -x^2/3=1 -(x^2 +2)/3$
Fuziona!
puoi spiegarmi cosa hai fatto?onestamente non ho capito i passaggi...
p(x) cos'è? che ragionamento hai applicato?
Colpa della mia incapacità di essere coerente con la notazione, l'ho cambiata per strada
$p(x)=(x+1)^-1$
Visto che non so dividere un polinomio per un polinomio di un grado più alto invece di scrivere l'unità come
$1$ la scrivo aggiungendo un invariante:
$1=x^2+2 +1= x^2+3$
Svolgo la divisione e mi rimane un termine divisibile più un certo resto che non è divisibile:
$(x^2+3)/(x+1)= (x^2-1)/(x+1) + 4/(x+1)= x-1 + 4/(x+1)= x-1 + 4(x+1)^-1$
Porto tutti gli inversi da una parte:
$-4(x+1)^-1 + (x+1)^-1=-3(x+1)^-1=x-1$
Non mi resta che dividere per il coefficiente dell'inverso:
$(x+1)^-1=-1/3 (x-1)= 1/3 -x/3$
Dimmi se non è chiaro, così provo a essere più chiaro!
$p(x)=(x+1)^-1$
Visto che non so dividere un polinomio per un polinomio di un grado più alto invece di scrivere l'unità come
$1$ la scrivo aggiungendo un invariante:
$1=x^2+2 +1= x^2+3$
Svolgo la divisione e mi rimane un termine divisibile più un certo resto che non è divisibile:
$(x^2+3)/(x+1)= (x^2-1)/(x+1) + 4/(x+1)= x-1 + 4/(x+1)= x-1 + 4(x+1)^-1$
Porto tutti gli inversi da una parte:
$-4(x+1)^-1 + (x+1)^-1=-3(x+1)^-1=x-1$
Non mi resta che dividere per il coefficiente dell'inverso:
$(x+1)^-1=-1/3 (x-1)= 1/3 -x/3$
Dimmi se non è chiaro, così provo a essere più chiaro!
chiarissimo,e disponibilissimo 
grazie mille
ps.buona pasqua a te e a tutto il forum!
grazie mille ps.buona pasqua a te e a tutto il forum!
"Maci86":
$(x+1)p(x)=x^2+3-> p(x)=(x^2+3)/(x+1) -> (x+1)^-1 = (x-1) +4(x+1)^-1-> (x+1)^-1=1/3 -x/3$
Vediamo se funziona:
$(x+1)(1/3 -x/3)=1/3 -x^2/3=1 -(x^2 +2)/3$
Fuziona!
un solo ultimo dubbio:ma nel secondo termine dell'ultima uguaglianza dove fai la verifica del ritrovamento dell'identità cioè $1-(x^2+2)/3$ abbiamo trovato l'identità perchè $(x^2+2)/3$ è un elemento appartenente all'ideale del quoziente vero?
Si esatto, appartiene all'ideale!
Buona Pasqua!
Buona Pasqua!
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