Trovare la parte stabile generata da $ \{a\}, a \in \mathbb{Z} $ sulla struttura algebrica $ (\mathbb{Z},+) $
Un esercizio dal testo di Franciosi e de Giovanni "Esercizi di Algebra" richiede di trovare quanto scritto nel titolo.
Dal testo degli stessi autori "Elementi di Algebra", se ho ben capito, viene definita parte stabile generata da un insieme $ X $ in una struttura algebrica (visto che è il caso attuale, mi limiterò al caso di struttura ad una operazione interna) $ (S, \star) $ l'intersezione di tutte le parti stabili di $ S $ tali che contengano $ X $, cioè, sia $ \mathcal{F}_X = \{Y \subseteq S | X \subseteq Y \wedge \forall x,y \in Y, x\stary \in Y \} $, allora la parte stabile generata da $ X $ è $ H \equiv \bigcap_{Y \in \mathcal{F}_X}Y $.
Nel caso di $ (\mathbb{Z},+) $ e di $ X = \{a\} $, ho concluso che, rispetto all'inclusione, la parte stabile più grande è, chiaramente, $ \mathbb{Z} $ stesso, poi per continuare ho cercato di trovare la parte stabile più piccola, sempre rispetto all'inclusione, riuscendo a risolvere il problema inizialmente solo nel caso di $ \a=0 $, infatti in questo caso la parte stabile più piccola rispetto all'inclusione è $ X $ stessa, per cui $ \bigcap_{Y \in \mathcal{F}_X}Y = X = \{0\} $.
Nel caso $ a \ne 0 $ ho invece provato nel seguente modo (che ritengo se non sbagliato quantomeno molto convoluto): ho ipotizzato che la parte stabile più piccola fosse del tipo $ \{a,b\} $, si dovrebbe avere, in questo caso, o $ a+b=a $ o $a+b=b$. Scartando il secondo, che implicherebbe $ a = 0 $, si trova che deve essere $ \{a,b\}=\{a,0\} $. Ora, dovrei dimostrare che qualsiasi sia un insieme $ G $ formato da più di due elementi, deve essere $\{a,0\} \subset G $. Con un po' di pazienza, ho visto che per una qualsiasi tripletta $ \{a,b,c\} $, le uniche possibilità non contraddittorie sono due, una implica $ b=0 $ $ c=-a $ e l'altra implica $b=0$ mentre $c$ è indeterminata. Avrei provato a continuare e dimostrare per induzione che un qualsiasi sottoinsieme finito di $ \mathbb{Z} $ deve contenere $\{a,0\}$, ma, a parte il fatto che non saprei come farlo ora come ora, rimarrebbero comunque i sottoinsiemi infiniti da guardare. Infatti, proprio mentre scrivo mi viene in mente che se fosse $ a \> 0 $ pari, l'insieme dei numeri pari sarebbe una parte stabile contenente $ a $ ma non $ 0 $.
Per quanto riguarda il caso $ a = 0 $ sono abbastanza convinto di aver risolto correttamente, mentre per $ a \ne 0 $ direi che è inutile dirlo.
Voglio comunque lasciare il ragionamento sperando che qualcuno abbia la pazienza di spiegarmi dov'è che commetto degli errori, o se magari non ne ho commessi e il ragionamento era "semplicemente" inutilmente complicato.
Dal testo degli stessi autori "Elementi di Algebra", se ho ben capito, viene definita parte stabile generata da un insieme $ X $ in una struttura algebrica (visto che è il caso attuale, mi limiterò al caso di struttura ad una operazione interna) $ (S, \star) $ l'intersezione di tutte le parti stabili di $ S $ tali che contengano $ X $, cioè, sia $ \mathcal{F}_X = \{Y \subseteq S | X \subseteq Y \wedge \forall x,y \in Y, x\stary \in Y \} $, allora la parte stabile generata da $ X $ è $ H \equiv \bigcap_{Y \in \mathcal{F}_X}Y $.
Nel caso di $ (\mathbb{Z},+) $ e di $ X = \{a\} $, ho concluso che, rispetto all'inclusione, la parte stabile più grande è, chiaramente, $ \mathbb{Z} $ stesso, poi per continuare ho cercato di trovare la parte stabile più piccola, sempre rispetto all'inclusione, riuscendo a risolvere il problema inizialmente solo nel caso di $ \a=0 $, infatti in questo caso la parte stabile più piccola rispetto all'inclusione è $ X $ stessa, per cui $ \bigcap_{Y \in \mathcal{F}_X}Y = X = \{0\} $.
Nel caso $ a \ne 0 $ ho invece provato nel seguente modo (che ritengo se non sbagliato quantomeno molto convoluto): ho ipotizzato che la parte stabile più piccola fosse del tipo $ \{a,b\} $, si dovrebbe avere, in questo caso, o $ a+b=a $ o $a+b=b$. Scartando il secondo, che implicherebbe $ a = 0 $, si trova che deve essere $ \{a,b\}=\{a,0\} $. Ora, dovrei dimostrare che qualsiasi sia un insieme $ G $ formato da più di due elementi, deve essere $\{a,0\} \subset G $. Con un po' di pazienza, ho visto che per una qualsiasi tripletta $ \{a,b,c\} $, le uniche possibilità non contraddittorie sono due, una implica $ b=0 $ $ c=-a $ e l'altra implica $b=0$ mentre $c$ è indeterminata. Avrei provato a continuare e dimostrare per induzione che un qualsiasi sottoinsieme finito di $ \mathbb{Z} $ deve contenere $\{a,0\}$, ma, a parte il fatto che non saprei come farlo ora come ora, rimarrebbero comunque i sottoinsiemi infiniti da guardare. Infatti, proprio mentre scrivo mi viene in mente che se fosse $ a \> 0 $ pari, l'insieme dei numeri pari sarebbe una parte stabile contenente $ a $ ma non $ 0 $.
Per quanto riguarda il caso $ a = 0 $ sono abbastanza convinto di aver risolto correttamente, mentre per $ a \ne 0 $ direi che è inutile dirlo.
Voglio comunque lasciare il ragionamento sperando che qualcuno abbia la pazienza di spiegarmi dov'è che commetto degli errori, o se magari non ne ho commessi e il ragionamento era "semplicemente" inutilmente complicato.
Risposte
Ma no, dai... È molto semplice anche per $a!=0$.
Scusa, chiama $A$ la parte stabile generata da $\{a\}$. In $A$ ci devono stare pure $a+a=2a$, $2a+a=3a$, etc... dunque quali numeri stanno tutti certamente in $A$?
E non è che puoi dimostrare che l’insieme che hai individuato contiene $A$?
E quindi...
Scusa, chiama $A$ la parte stabile generata da $\{a\}$. In $A$ ci devono stare pure $a+a=2a$, $2a+a=3a$, etc... dunque quali numeri stanno tutti certamente in $A$?
E non è che puoi dimostrare che l’insieme che hai individuato contiene $A$?
E quindi...
Non ho mai studiato le parti stabili, ma da come le hai descritte tu mi verrebbe da dire che la parte stabile di 0 è {0} come dici te, se $a \in \mathbb{Z}$ allora la sua parte stabile è $\{na : n \in \mathbb{N}^{\ne}\}$.
gugo82 perchè anche $a-a$ sta nella parte stabile?
gugo82 perchè anche $a-a$ sta nella parte stabile?
"marco.ve":
se $a \in \mathbb{Z}$ allora la sua parte stabile è $\{na : n \in \mathbb{N}^{\ne}\}$.
No, quasi. Che è un modo educato di dire "assolutamente no"
perchè anche $a-a$ sta nella parte stabile?
Perché fa 0, che sta in tutte le sotto-strutture che contengono un insieme $S$.
Per il futuro: non c'è ragione di usare tutta la potenza linguistica dell'algebra universale per strutture semplici come gruppi, gruppi abeliani, anelli e moduli; in ciascuno di questi casi esistono infatti caratterizzazioni equivalenti della sotto-struttura generata da un insieme, che sono molto più maneggevoli della definizione generale di \(\langle S\rangle\) (la sotto-struttura generata da $S$, e le parentesi uncinate sono il modo in cui i cristiani indicano le sotto-strutture generate) come intersezione sulla famiglia di tutte le sotto-strutture che sono sovrainsiemi di $S$.
\(\langle S\rangle\) si caratterizza come (per esempio, per i moduli) l'insieme delle somme finite \(\sum a_i s_i \) al variare di $a_i\in A$ (l'anello dei coefficienti) e di $s_i\in S$; siccome un gruppo abeliano è niente più, niente meno, che un modulo sull'anello $ZZ$ degli interi, ne viene che \(\langle a \rangle\) è l'insieme \(\{na\mid n\in\mathbb Z\}\). Il quale (che sorpresa!) è un gruppo abeliano isomorfo a $ZZ$ non appena \(a\ne 0\).
PS: la smettiamo di chiamare "parte stabile" una sotto-struttura? Certe cose non si sentono dai tempi dei salotti della restaurazione!
Poi lamentiamoci che la matematica italiana è ferma all'Ottocento.
Killing-buddha io personalmente ho un solo testo di Algebra, che è il Franciosi de Giovanni come ho detto nel post iniziale, quindi insomma o mi invento le denominazioni o uso quelle del testo :V
Però a parte gli scherzi, se mi sapresti consigliare un testo completo e più moderno sicuramente vedrei di procurarmelo, purché non vada a scapito della formalità
Però a parte gli scherzi, se mi sapresti consigliare un testo completo e più moderno sicuramente vedrei di procurarmelo, purché non vada a scapito della formalità
Ma, infatti, la parte stabile generata da $\{ a\}$ ed il sottogruppo generato da $\{ a\}$ in $(ZZ, +)$ sono cose diverse...
La prima è il più piccolo (rispetto all'inclusione) insieme $A$ che contiene $\{ a\}$ ed è stabile rispetto a $+$.
Il secondo è il più piccolo (rispetto all'inclusione) sottogruppo $X\subseteq ZZ$ che contiene $\{ a\}$.
Evidentemente, $A=aZZ^+$ mentre $X=aZZ$.
La prima è il più piccolo (rispetto all'inclusione) insieme $A$ che contiene $\{ a\}$ ed è stabile rispetto a $+$.
Il secondo è il più piccolo (rispetto all'inclusione) sottogruppo $X\subseteq ZZ$ che contiene $\{ a\}$.
Evidentemente, $A=aZZ^+$ mentre $X=aZZ$.
Il più piccolo insieme che contiene {a} è esattamente {a}, se non specifichi altre condizioni.
Piuttosto, sembra che sia il sottomagma generato da a; a cosa serve, però, oltre che a rendersi conto che è l'insieme $\mathbb N a$?
Piuttosto, sembra che sia il sottomagma generato da a; a cosa serve, però, oltre che a rendersi conto che è l'insieme $\mathbb N a$?
"killing_buddha":
Il più piccolo insieme che contiene {a} è esattamente {a}, se non specifichi altre condizioni.
"gugo82":
La prima è il più piccolo (rispetto all'inclusione) insieme $A$ che contiene $\{ a\}$ ed è stabile rispetto a $+$.
Credevo che, oltre ad un po' d'Algebra, sapessi anche leggere...
"killing_buddha":
Piuttosto, sembra che sia il sottomagma generato da a; a cosa serve, però, oltre che a rendersi conto che è l'insieme $\mathbb N a$?
Esatto, serve proprio a questo.
"gugo82":
Credevo che, oltre ad un po' d'Algebra, sapessi anche leggere...
No, ho disimparato tempo fa. Oppure rispondevo da appena sveglio, ora non ricordo.
Esatto, serve proprio a questo.
Ah, ottimo, evviva!
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