Trovare indice di sottogruppo di matrici.
Devo trovare l'indice di questa cosa: \( [\operatorname{GL}_2( \mathbb{F}_{p^2} ) : G] \)
dove \( G \) è il sottogruppo di \( \operatorname{GL}_2( \mathbb{F}_{p^2} ) \) formato da \[ G = \{ \begin{pmatrix} k & l \\ m & n \end{pmatrix} \in \operatorname{GL}_2( \mathbb{F}_{p^2} ): l \equiv 0 \mod p \} \]
il problema è che non riesco a trovare questo indice, cioè so che è di indice \( p +1 \) però devo dimostrarlo e non riesco a trovare un omomorfismo adatto
Ho pensato di fare una cosa come
\[ f : \operatorname{GL}_2( \mathbb{F}_{p^2} ) \to \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_p) = \{ [x] : x \in \mathbb{F}_p \} \cup \{ [1:0] \} \]
in cui \( G = \ker f \) e in questo modo abbiamo che \( \left| \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_p) \right| = p+1 \). Però sorgono due problemi, il primo è trovare il modo di rendere \( \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_p) \) un gruppo
il secondo è trovare un modo per far si che il \( \ker f = G \).
Una idea?
dove \( G \) è il sottogruppo di \( \operatorname{GL}_2( \mathbb{F}_{p^2} ) \) formato da \[ G = \{ \begin{pmatrix} k & l \\ m & n \end{pmatrix} \in \operatorname{GL}_2( \mathbb{F}_{p^2} ): l \equiv 0 \mod p \} \]
il problema è che non riesco a trovare questo indice, cioè so che è di indice \( p +1 \) però devo dimostrarlo e non riesco a trovare un omomorfismo adatto
Ho pensato di fare una cosa come
\[ f : \operatorname{GL}_2( \mathbb{F}_{p^2} ) \to \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_p) = \{ [x] : x \in \mathbb{F}_p \} \cup \{ [1:0] \} \]
in cui \( G = \ker f \) e in questo modo abbiamo che \( \left| \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_p) \right| = p+1 \). Però sorgono due problemi, il primo è trovare il modo di rendere \( \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_p) \) un gruppo
il secondo è trovare un modo per far si che il \( \ker f = G \).Una idea?
Risposte
E' un po' strano il modo in cui hai scritto il sottogruppo, che significa $l\equiv 0\mod p$?
No scusa, ho sbagliato a scrivere il gruppo, intendevo \( \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z} \mod p^2) \). Dopo correggo anche nel messaggio originale, ora sono con il telefono
Beh allora mi sembra un conto semplice: prima lo fai in $GL_2(\mathbb F_p)$ e poi lifti usando il fatto che esiste una suriezione \(GL_2(\mathbb Z/p^2\mathbb Z)\to GL_2(\mathbb F_p)\).
Non ho capito in che senso farlo prima in \( \operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_p) \)
Definisci il sottogruppo analogo di $GL_2(\mathbb F_p)$. Penso sia abbastanza chiaro quale sia la definizione no?
Ora calcola la cardinalità di quello, che è facile.
Ora calcola la cardinalità di quello, che è facile.
Ah ma tu dici di fare così:
Il sottogruppo analogo sono le matrici triangolari inferiori in \( \operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_p) \) nel caso in cui il determinante è \( kn \neq 0 \), abbiamo che \(m \) può essere arbitrariamente scelto in \( \mathbb{F}_p \), mentre il solo vincolo per \(k\) ed \(n\) è che non siano zero, quindi \(k,n \neq 0 \), quindi l'ordine di questo sottogruppo è \( p (p-1)^2 \). Ora calcoliamo l'ordine del gruppo \( \operatoname{GL}_2(\mathbb{F}_p) \). Abbiamo che \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{F}_p) = \ker \det \) dove \( \det : \operatoname{GL}_2(\mathbb{F}_p) \to \mathbb{F}_p^{\times} \) quindi chiaramente abbiamo che \( \left| \operatoname{GL}_2(\mathbb{F}_p) \right| = (p-1) \left| \operatoname{SL}_2(\mathbb{F}_p) \right| \). L'ordine di \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{F}_p) \) è dato da quelle matrici in cui \( kn-m\ell \equiv 1 \) questo è equivalente a dire che \( kn \equiv 1 + m \ell \mod p \), supponendo che \( \ell \equiv 0 \mod p \) ed \(m \neq 0\) scelto liberamente abbiamo che \(k = n^{-1} \) per cui abbiamo in totale \( (p-1)^2 \) possibilità perché la scelta di uno determina la scelta dell'altro. Similmente per \(m \equiv 0 \mod p \) ed \( \ell \neq 0 \) abbiamo \((p-1)^2 \) possibilità. Ora se \( \ell = m = 0 \) abbiamo solamente \(p-1\) possibilità. Per un totale di \( 2(p-1)^2 + (p-1) \) possibilità.
Supponiamo \( m \ell \equiv -1 \mod p \) a questo punto abbiamo \( p-1 \) possibilità per \((m ,\ell) \) perché la scelta di uno è determinata dall'altro e in questo caso abbiamo che \( 1+m \ell \equiv 0 \) quindi abbiamo in modo analogo a prima che \(k \) ed \(n\) o sono entrambi zero oppure uno è zero e l'altro no per un totale di \( 2(p-1)^2 + (p-1) \) possibilità!
L'ultimo caso è quando \( m \ell \not\equiv 0,-1 \mod p \) e quindi abbiamo che \( m\) è scelto \( (p-1) \) modi e \( \ell \) scelto in \( (p-2)\) modi. E a questo punto la scelta di \( k \) determina la scelta di \(n \) quindi \(p-1\) possibilità per \(kn\). Per un totale definitivo di
\( 2 (2(p-1)^2 + (p-1) ) + (p-1)^2(p-2) = p(p-1)(p+1) \) e dunque
la cardinalità del gruppo è \( p(p-1)^2 (p+1) \) e quindi il sottogruppo analogo è di indice \(p+1\).
Ma io avevo fatto così però il prof mi ha detto che era brutto e voleva un modo più immediato...
Il sottogruppo analogo sono le matrici triangolari inferiori in \( \operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_p) \) nel caso in cui il determinante è \( kn \neq 0 \), abbiamo che \(m \) può essere arbitrariamente scelto in \( \mathbb{F}_p \), mentre il solo vincolo per \(k\) ed \(n\) è che non siano zero, quindi \(k,n \neq 0 \), quindi l'ordine di questo sottogruppo è \( p (p-1)^2 \). Ora calcoliamo l'ordine del gruppo \( \operatoname{GL}_2(\mathbb{F}_p) \). Abbiamo che \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{F}_p) = \ker \det \) dove \( \det : \operatoname{GL}_2(\mathbb{F}_p) \to \mathbb{F}_p^{\times} \) quindi chiaramente abbiamo che \( \left| \operatoname{GL}_2(\mathbb{F}_p) \right| = (p-1) \left| \operatoname{SL}_2(\mathbb{F}_p) \right| \). L'ordine di \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{F}_p) \) è dato da quelle matrici in cui \( kn-m\ell \equiv 1 \) questo è equivalente a dire che \( kn \equiv 1 + m \ell \mod p \), supponendo che \( \ell \equiv 0 \mod p \) ed \(m \neq 0\) scelto liberamente abbiamo che \(k = n^{-1} \) per cui abbiamo in totale \( (p-1)^2 \) possibilità perché la scelta di uno determina la scelta dell'altro. Similmente per \(m \equiv 0 \mod p \) ed \( \ell \neq 0 \) abbiamo \((p-1)^2 \) possibilità. Ora se \( \ell = m = 0 \) abbiamo solamente \(p-1\) possibilità. Per un totale di \( 2(p-1)^2 + (p-1) \) possibilità.
Supponiamo \( m \ell \equiv -1 \mod p \) a questo punto abbiamo \( p-1 \) possibilità per \((m ,\ell) \) perché la scelta di uno è determinata dall'altro e in questo caso abbiamo che \( 1+m \ell \equiv 0 \) quindi abbiamo in modo analogo a prima che \(k \) ed \(n\) o sono entrambi zero oppure uno è zero e l'altro no per un totale di \( 2(p-1)^2 + (p-1) \) possibilità!
L'ultimo caso è quando \( m \ell \not\equiv 0,-1 \mod p \) e quindi abbiamo che \( m\) è scelto \( (p-1) \) modi e \( \ell \) scelto in \( (p-2)\) modi. E a questo punto la scelta di \( k \) determina la scelta di \(n \) quindi \(p-1\) possibilità per \(kn\). Per un totale definitivo di
\( 2 (2(p-1)^2 + (p-1) ) + (p-1)^2(p-2) = p(p-1)(p+1) \) e dunque
la cardinalità del gruppo è \( p(p-1)^2 (p+1) \) e quindi il sottogruppo analogo è di indice \(p+1\).
Ma io avevo fatto così però il prof mi ha detto che era brutto e voleva un modo più immediato...
Beh certo non c'è bisogno di tutta sta pappardella per trovare l'ordine di $GL_2(\mathbb F_p)$: prendi un elemento lì dentro, la prima colonna può essere qualsiasi vettore non nullo, quindi hai $p^2-1$ scelte, la seconda colonna può essere qualsiasi vettore linearmente indipendente dal primo, quindi hai $p^2-p$ scelte.
Però ancora più rapidamente se vuoi trovare l'indice di quel sottogruppo di $GL_2(\mathbb F_p)$, chiamalo $H$, basta osservare che $GL_2(\mathbb F_p)$ agisce transitivamente su $\mathbb P^1(\mathbb F_p)$ e $H$ è lo stabilizzatore di $(0:1)$, quindi per orbit-stabilizer theorem l'indice di $H$ è la cardinalità di $\mathbb P^1(\mathbb F_p)$, ovvero $p+1$.
Però ancora più rapidamente se vuoi trovare l'indice di quel sottogruppo di $GL_2(\mathbb F_p)$, chiamalo $H$, basta osservare che $GL_2(\mathbb F_p)$ agisce transitivamente su $\mathbb P^1(\mathbb F_p)$ e $H$ è lo stabilizzatore di $(0:1)$, quindi per orbit-stabilizer theorem l'indice di $H$ è la cardinalità di $\mathbb P^1(\mathbb F_p)$, ovvero $p+1$.
Okay, bello così.
Però ora mi è sorto un dubbio
Qual'è questa suriezione scusami? Abbiamo che \( \operatorname{GL}_2( \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} ) \) è l'insieme delle matrici \(M\) a coefficienti in \( \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \) in cui il determinante \( \det M \equiv 1 \mod p^2 \) oppure \( \det M \equiv - 1 \mod p^2 \) poiché \( \mathbb{Z}/p^2 \mathbb{Z} \) è solo un anello con unità, mentre \( \operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_p) \) è l'insieme delle matrici invertibili a coefficienti nel campo finito \( \mathbb{F}_p \), ovvero di determinante diverso da zero.
Quindi una matrice \( M \in \operatorname{GL}_2( \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} ) \) possiede determinante \( \det M = xp^2 \pm 1 \equiv \pm 1 \mod p^2 \) per qualche intero \(x \), ora com'è possibile che il determinante di \(M \) in cui i coefficienti sono visti \( \mod p \) e non più \( \mod p^2 \) dia un determinante differente da \(\pm 1 \mod p \) ?? E quindi com'è possibile ad esempio prendere le matrici di determinante ad esempio \( 2 \) ? (supponendo ovviamente \(p > 2 \)) ??
In altre parole secondo me l'immagine di \( \operatorname{GL}_2( \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} ) \) è \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{F}_p) \cup \operatorname{SL}_2^{-}(\mathbb{F}_p) \) dove con \( \operatorname{SL}_2^{-}(\mathbb{F}_p) \) intendo le matrici di determinante \( - 1 \).
Edit:
È falso quello che ho scritto nel senso che \( \operatorname{GL}_2( \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} ) \) è l'insieme delle matrici \(M\) a coefficienti in \( \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \) in cui il determinante è un unità, però il discorso non cambia siccome ad esempio se \(p=3 \) abbiamo che \(2,4,6,8 \) non sono unità
Però ora mi è sorto un dubbio
"hydro":
Beh allora mi sembra un conto semplice: prima lo fai in $ GL_2(\mathbb F_p) $ e poi lifti usando il fatto che esiste una suriezione \( GL_2(\mathbb Z/p^2\mathbb Z)\to GL_2(\mathbb F_p) \).
Qual'è questa suriezione scusami? Abbiamo che \( \operatorname{GL}_2( \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} ) \) è l'insieme delle matrici \(M\) a coefficienti in \( \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \) in cui il determinante \( \det M \equiv 1 \mod p^2 \) oppure \( \det M \equiv - 1 \mod p^2 \) poiché \( \mathbb{Z}/p^2 \mathbb{Z} \) è solo un anello con unità, mentre \( \operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_p) \) è l'insieme delle matrici invertibili a coefficienti nel campo finito \( \mathbb{F}_p \), ovvero di determinante diverso da zero.
Quindi una matrice \( M \in \operatorname{GL}_2( \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} ) \) possiede determinante \( \det M = xp^2 \pm 1 \equiv \pm 1 \mod p^2 \) per qualche intero \(x \), ora com'è possibile che il determinante di \(M \) in cui i coefficienti sono visti \( \mod p \) e non più \( \mod p^2 \) dia un determinante differente da \(\pm 1 \mod p \) ?? E quindi com'è possibile ad esempio prendere le matrici di determinante ad esempio \( 2 \) ? (supponendo ovviamente \(p > 2 \)) ??
In altre parole secondo me l'immagine di \( \operatorname{GL}_2( \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} ) \) è \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{F}_p) \cup \operatorname{SL}_2^{-}(\mathbb{F}_p) \) dove con \( \operatorname{SL}_2^{-}(\mathbb{F}_p) \) intendo le matrici di determinante \( - 1 \).
Edit:
È falso quello che ho scritto nel senso che \( \operatorname{GL}_2( \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} ) \) è l'insieme delle matrici \(M\) a coefficienti in \( \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \) in cui il determinante è un unità, però il discorso non cambia siccome ad esempio se \(p=3 \) abbiamo che \(2,4,6,8 \) non sono unità
$\mathbb F_p$ è un quoziente di \(\mathbb Z/p^2\mathbb Z\)...
[quote=3m0o]
Quindi una matrice \( M \in \operatorname{GL}_2( \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} ) \) possiede determinante \( \det M = xp^2 \pm 1 \equiv \pm 1 \mod p^2 \) per qualche intero \(x \)[\quote]
Proprio no.
Quindi una matrice \( M \in \operatorname{GL}_2( \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} ) \) possiede determinante \( \det M = xp^2 \pm 1 \equiv \pm 1 \mod p^2 \) per qualche intero \(x \)[\quote]
Proprio no.
Infatti ho editato, mi sono corretto dicendo che il determinante è un unità in \( \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \) ma non tutti gli elementi di \( \mathbb{F}_p^{\times} \) sono unità di \( \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \).
Se formalizzi questa affermazione, ti accorgerai che è sbagliata.
Allora le unità in \( \mathbb{Z}/p^2 \mathbb{Z} \) sono gli elementi coprimi con \( p^2 \) quindi ci sono \( \varphi(p^2) = p(p-1) \) unità e queste unità sono tutti gli elemeni in \( \mathbb{Z}/p^2 \mathbb{Z} \) tranne gli elementi della forma \( n p \) per \( 0 \leq n < p \), ciascuna unità effettivamente è della forma \( np + k \) per qualche \( 0 \leq n < p \) e \( 0 < k < p \) e quindi effettivamente \( np+k \equiv k \mod p \) quindi \( k \in \mathbb{F}_p^{\times} \).
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