Trovare $f:(0,1) \rightarrow [0,1]$ che sia invertibile
Trovare $f:(0,1) \rightarrow [0,1]$ che sia invertibile:
"semplice", basta trovare una funzione che sia iniettiva e suriettiva,
Piccolo problema, l'immagine consta degli elementi $0$ e $1$ che non sono parte del dominio.
Così, come prima cosa ho provato ad immagiarmela graficamente: ho pensato ad una funzione potenza, tangente, ed altre ancora, ma ovviamente il problema che mi si pone ogni volta è quello di trovare la controimmagine di $0$ e $1$ senza perdere l'iniettività di $f$.
Chi mi da una spinta ?
"semplice", basta trovare una funzione che sia iniettiva e suriettiva,
Piccolo problema, l'immagine consta degli elementi $0$ e $1$ che non sono parte del dominio.
Così, come prima cosa ho provato ad immagiarmela graficamente: ho pensato ad una funzione potenza, tangente, ed altre ancora, ma ovviamente il problema che mi si pone ogni volta è quello di trovare la controimmagine di $0$ e $1$ senza perdere l'iniettività di $f$.
Chi mi da una spinta ?
Risposte
Vuoi una funzione, senza altre richieste, no? Allora ti è sufficiente trovare una funzione iniettiva \([0,1]\to (0,1)\) (è il teorema di Cantor-Schroder-Bernstein: se esiste $f : X \to Y$ iniettiva, ed esiste $g : Y \to X$ iniettiva, allora esiste $h : X \to Y$ biiettiva). Per farlo, prendi un qualsiasi omeomorfismo \(q : (0,1) \to (1/2-\epsilon,1/2+\epsilon)\) (un'omotetia farà al caso tuo), ora la composizione
\[
\begin{CD}
(0,1) @>>q> (1/2-\epsilon,1/2+\epsilon) @>>> (0,1)
\end{CD}
\] è iniettiva, e concludi. Nota che questa dimostrazione non è costruttiva, ovvero adesso sai che esiste una biiezione \((0,1) \to [0,1]\) ma non hai idea di come sia fatta. Soprattutto, ogni speranza di saperlo è vana, perché nessuna di tali biiezioni potrà essere continua rispetto alle topologie indotte da $\mathbb R$ sugli intervalli (se no sarebbero omeomorfi, cosa falsa), quindi qualsiasi biiezione tra l'intervallo aperto e il chiuso deve fare schifo a piacere.
\[
\begin{CD}
(0,1) @>>q> (1/2-\epsilon,1/2+\epsilon) @>>> (0,1)
\end{CD}
\] è iniettiva, e concludi. Nota che questa dimostrazione non è costruttiva, ovvero adesso sai che esiste una biiezione \((0,1) \to [0,1]\) ma non hai idea di come sia fatta. Soprattutto, ogni speranza di saperlo è vana, perché nessuna di tali biiezioni potrà essere continua rispetto alle topologie indotte da $\mathbb R$ sugli intervalli (se no sarebbero omeomorfi, cosa falsa), quindi qualsiasi biiezione tra l'intervallo aperto e il chiuso deve fare schifo a piacere.
Non so nulla del teorema che citi, e sinceramente non pensavo a questa conclusione, niente lieto fine insomma. Forse l'esercizio è introdotto con altri scopi. Grazie comunque
Non vedo altri modi; è controintuitivo ciò che ho detto, ma non c'è scampo, qualsiasi biiezione dall'intervallo chiuso all'aperto deve essere pesantemente non continua (addirittura, non può essere continua su nessun intervallo della forma \([0,\alpha)\), né su nessun intervallo della forma \((\alpha,1]\)), quindi la forma di una tale biiezione deve essere molto contorta. Ovvero, scriverla è quasi impossibile, sebbene dimostrare che esista sia relativamente facile (al netto della assunzione dell'assioma della scelta).
"killing_buddha":
scriverla è quasi impossibile
Condivido le altre tue affermazioni, ma questa mi pare un po' esagerata: l'inversa (solo per scrivere una riga in meno) della funzione cercata, ritengo possa essere ad esempio questa.
$ f(x) = {(2^{-1},se,x=0),(2^{-(n+2)},se, x=2^{-n}),(x,se,x\ne 0^^x \ne 2^{-n}):}(n \in NN) $
Ciao
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