Triangolarizzazione di una matrice
Ciao a tutti,
mi è capitato un caso che non ho mai trovato nel triangolarizzare una matrice di coefficienti in $ZZ_11$
il sistema è il seguente
$ { ( x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=6 ),( 2x_1+3x_2+4x_3+5x_4+6x_5=7 ),( 3x_1+4x_2+5x_3+6x_4+7x_5=8 ),( 4x_1+5x_2+6x_3+7x_4+8x_5=9 ),( 5x_1+6x_2+7x_3+8x_4+9x_5=10 ):} $
quindi la matrice è
$ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ),( 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ),( 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ),( 4 ,5 , 6 , 7 , 8 , 9 ),( 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ) ) $
sottraggo alle righe da 2 a 5 2 volte la prima riga e ottengo
$((1,2,3,4,5,6),(0,10,9,8,7,6),(0,9,7,5,3,1),(0,8,5,2,10,7),(0,7,3,10,6,2))$
a questo punto per portare a 0 il 9 della 3 riga provo a sottrarre 13 volte la seconda riga e visto che sono in $ZZ_11$ ottengo che la 3 riga sono tutti quanti zeri.
la mia domanda è "sbaglio qualcosa io? o va bene che tutti i coefficienti del sistema che voglio risolvere vadano a zero? che significa?"
grazie a tutti per l'aiuto
mi è capitato un caso che non ho mai trovato nel triangolarizzare una matrice di coefficienti in $ZZ_11$
il sistema è il seguente
$ { ( x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=6 ),( 2x_1+3x_2+4x_3+5x_4+6x_5=7 ),( 3x_1+4x_2+5x_3+6x_4+7x_5=8 ),( 4x_1+5x_2+6x_3+7x_4+8x_5=9 ),( 5x_1+6x_2+7x_3+8x_4+9x_5=10 ):} $
quindi la matrice è
$ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ),( 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ),( 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ),( 4 ,5 , 6 , 7 , 8 , 9 ),( 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ) ) $
sottraggo alle righe da 2 a 5 2 volte la prima riga e ottengo
$((1,2,3,4,5,6),(0,10,9,8,7,6),(0,9,7,5,3,1),(0,8,5,2,10,7),(0,7,3,10,6,2))$
a questo punto per portare a 0 il 9 della 3 riga provo a sottrarre 13 volte la seconda riga e visto che sono in $ZZ_11$ ottengo che la 3 riga sono tutti quanti zeri.
la mia domanda è "sbaglio qualcosa io? o va bene che tutti i coefficienti del sistema che voglio risolvere vadano a zero? che significa?"
grazie a tutti per l'aiuto
Risposte
Siccome \(11\) è un numero primo allora \(\mathbb{Z}_{11}\) è un campo. L'algoritmo è pressoché lo stesso del caso reale. Devi solo trovare gli inversi.
L'inverso di \(2\) per esempio è \(6\) perché \(2\times 6 = 12 = 11 + 1\). Siccome \(\displaystyle 12 = 3\times 4 \) ho trovato anche l'inverso di \(\displaystyle 3 \) e \(\displaystyle 4 \). Per \(\displaystyle 5 \) si può usare \(\displaystyle 5\times 9 = 45 = 44 + 1 \). Per \(\displaystyle 7 \) e \(\displaystyle 8 \) uso \(\displaystyle 7 \times 8 = 56 \) mentre \(\displaystyle 10 \) è inverso di se stesso: \(\displaystyle 100 = 99 + 1 \).
L'inverso di \(2\) per esempio è \(6\) perché \(2\times 6 = 12 = 11 + 1\). Siccome \(\displaystyle 12 = 3\times 4 \) ho trovato anche l'inverso di \(\displaystyle 3 \) e \(\displaystyle 4 \). Per \(\displaystyle 5 \) si può usare \(\displaystyle 5\times 9 = 45 = 44 + 1 \). Per \(\displaystyle 7 \) e \(\displaystyle 8 \) uso \(\displaystyle 7 \times 8 = 56 \) mentre \(\displaystyle 10 \) è inverso di se stesso: \(\displaystyle 100 = 99 + 1 \).
@duombo Hai sbagliato coi calcoli... ad esempio: se sottrai due volte la prima riga alla seconda riga ottieni (modulo \(\displaystyle11\)) la riga:
\[
(0\,10\,9\,8\,7\,6)...
\]
lo stesso dovrebbe valere con le altri righe ridotte!
@vict85
\[
(0\,10\,9\,8\,7\,6)...
\]
lo stesso dovrebbe valere con le altri righe ridotte!
@vict85
grazie j18eos 
io al primo passaggio sottraggo 2 volte la prima riga alla seconda e a tutte quante le righe e mi trovo con i calcoli,
mentre al secondo passaggio, quando in pratica devo far diventare il 9 0 sottraggo alla 3 riga 13 volte la seconda e ottengo una fila di zeri, è questo il mio dubbio
io al primo passaggio sottraggo 2 volte la prima riga alla seconda e a tutte quante le righe e mi trovo con i calcoli,
mentre al secondo passaggio, quando in pratica devo far diventare il 9 0 sottraggo alla 3 riga 13 volte la seconda e ottengo una fila di zeri, è questo il mio dubbio
@vict85 puoi spiegare meglio? grazie mille
Ah che scemo... non avevo letto bene! 
Se ti vengono tutti zeri, significa che la terza riga è combinazione lineare delle prime due; in conseguenza: la matrice non è invertibile, e la terza equazione è combinazione lineare delle prime due equazioni!
Se ti vengono tutti zeri, significa che la terza riga è combinazione lineare delle prime due; in conseguenza: la matrice non è invertibile, e la terza equazione è combinazione lineare delle prime due equazioni!
benissimo j18eos, grazie mille
quindi se non è invertibile la matrice cosa posso dire del sistema che l'ha generata?
quindi se non è invertibile la matrice cosa posso dire del sistema che l'ha generata?
Che non ha un'unica soluzione... e cos'altro?
aiutino?
"duombo":rango!
aiutino?
forse ho bisogno di qualcosa in più di un aiutino... sul rango posso solo dire che utilizzando Gauss per ridurre la matrice a forma triangolare, il rango è il numero delle righe non nulle... ma poi?
Continuando a ridurre ti trovi il rango, ovvero il massimo numero di equazioni linearmente indipendenti; però il numero delle incognite resta comunque \(\displaystyle 6\)...
e quindi mi verrebbe da dire che ci sono infinite soluzioni ma essendo in $ZZ_11$ come concludo?
Non ci sono infinite soluzioni...
Supposto che il rango sia \(\displaystyle5\), per trovare un'unica soluzione devi fissare il valore di una incognita, quindi hai \(\displaystyle11\) distinte soluzioni!
Supposto che il rango sia \(\displaystyle5\), per trovare un'unica soluzione devi fissare il valore di una incognita, quindi hai \(\displaystyle11\) distinte soluzioni!
ok quindi per risolvere e mostrare le 11 soluzioni devo continuare con la triangolarizzazione della matrice, otterrò 4 valori di 4 incognite e a questo punto il valore dell'altra incognita lo devo fissare in modo che il sistema sia soddisfatto e quindi il numero totale delle soluzioni sarà 11
spero di non aver scritto castronerie... a quest'ora sono bello che cotto
spero di non aver scritto castronerie... a quest'ora sono bello che cotto
"duombo":Perché quattro? Il rango è \(\displaystyle4\)? Se sì, le soluzioni distinte sono \(\displaystyle11^{6-4}=11^2=121 \)!
...otterrò 4 valori di 4 incognite e a questo punto il valore dell'altra incognita lo devo fissare in modo che il sistema sia soddisfatto e quindi il numero totale delle soluzioni sarà 11...
perchè il numero delle righe della matrice è $5$ quindi se il rango è $4$ il numero delle soluzioni sarà $11^1$ giusto?
"j18eos":
@vict85
Considera la matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \). Se \(\displaystyle a,b,c,d \) sono elementi in un campo e \(\displaystyle a\neq 0 \) allora \(\displaystyle c - a\frac{c}{a} = \frac{ca - ca}{a} = 0 \). Nel mio messaggio ho trovato gli inversi in \(\displaystyle \mathbb{Z}_{11} \). A quel punto, invece di dividere, si moltiplica.
Detto questo, che questa matrice
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10
\end{pmatrix} \)
sia di rango 2 è banale dal fatto che la differenza tra due righe consecutive è uguale alla differenza delle prime due.
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