Tredici alla tredici
Ciao a tutti,
è il mio primo post su questo forum e mi scuso se commetto imprecisioni.
Sono ancora alle prime armi con algebra discreta fatta ad un certo livello.
Sono alle prese con questo tipo di problema: qual'è l' ultima cifra decimale di 13^13 ? E le ultime due cifre decimali di 1999^2001 ?
Sto provando a risolverlo utilizzando tecniche di algebra modulare, provando utilizzare il piccolo teorema di Fermat ma...non riesco a capirci il verso.
Qualcuno può provare a darmi un "suggerimento" ragionato d' inizio ?
Vorrei poi provare a cavarmela con le mie forze...
grazie a tutti !
è il mio primo post su questo forum e mi scuso se commetto imprecisioni.
Sono ancora alle prime armi con algebra discreta fatta ad un certo livello.
Sono alle prese con questo tipo di problema: qual'è l' ultima cifra decimale di 13^13 ? E le ultime due cifre decimali di 1999^2001 ?
Sto provando a risolverlo utilizzando tecniche di algebra modulare, provando utilizzare il piccolo teorema di Fermat ma...non riesco a capirci il verso.
Qualcuno può provare a darmi un "suggerimento" ragionato d' inizio ?
Vorrei poi provare a cavarmela con le mie forze...
grazie a tutti !
Risposte
benvenuto nel forum.
per "ultima cifra decimale" intendi le unità?
se è così, questi mi sembrano due esercizi per cui l'algebra modulare ci rientra marginalmente, ma si possono risolvere con le regole dell'algebra classica.
in ogni modo, io provo a darti un suggerimento in tal senso. ben vengano altri suggerimenti da chi volesse intervenire.
per l'ultima cifra ti interessano solo le unità, quindi puoi considerare le potenze a base 3 anziché 13. se esamini l'ultima cifra delle potenze di 3:
3,9,7,1,3,... si ripetono ogni 4. a te serve la potenza tredicesima, e $13-=1(mod4)$, dunque la cifra finale è la stessa di $3^1$, cioè $3$.
ripetendo il ragionamento per le potenze di 9:
9,1,9,1,9,1,...
che si ripetono ogni due, poiché 2001 è un numero dispari (congruo a 1 modulo 2), la cifra delle unità di $1999^2001$ è la stessa di $9^1$, cioè $9$.
spero di non avere scritto sciocchezze, e di essere stata chiara. ciao.
per "ultima cifra decimale" intendi le unità?
se è così, questi mi sembrano due esercizi per cui l'algebra modulare ci rientra marginalmente, ma si possono risolvere con le regole dell'algebra classica.
in ogni modo, io provo a darti un suggerimento in tal senso. ben vengano altri suggerimenti da chi volesse intervenire.
per l'ultima cifra ti interessano solo le unità, quindi puoi considerare le potenze a base 3 anziché 13. se esamini l'ultima cifra delle potenze di 3:
3,9,7,1,3,... si ripetono ogni 4. a te serve la potenza tredicesima, e $13-=1(mod4)$, dunque la cifra finale è la stessa di $3^1$, cioè $3$.
ripetendo il ragionamento per le potenze di 9:
9,1,9,1,9,1,...
che si ripetono ogni due, poiché 2001 è un numero dispari (congruo a 1 modulo 2), la cifra delle unità di $1999^2001$ è la stessa di $9^1$, cioè $9$.
spero di non avere scritto sciocchezze, e di essere stata chiara. ciao.
Per quel che mi riguarda mi hai dato davvero un ottimo spunto....sto cercando di crescere su ste cose qui.... 
Grazie ancora !
Grazie ancora !
In generale, le ultime $n$ cifre di un numero (espresso normalmente in base 10) corrispondo al rappresentante privilegiato del numero modulo $10^n$
Nel tuo caso, con $n = 1$, devi studiare $13^(13) (mod 10)$.
Per Fermat $13^4 = 1 (mod 10)$, da cui $13^(13) = 13 \cdot (13^4)^3 = 13 (mod 10) = 3 (mod 10)$ che è la tua cifra delle unità
Nel tuo caso, con $n = 1$, devi studiare $13^(13) (mod 10)$.
Per Fermat $13^4 = 1 (mod 10)$, da cui $13^(13) = 13 \cdot (13^4)^3 = 13 (mod 10) = 3 (mod 10)$ che è la tua cifra delle unità
Beh..grazie davvero....un altro spunto preziosissimo per me !
prego!
mi sto accorgendo che nel secondo esercizio si chiedevano le ultime due cifre...
in tal caso è un po' più delicata la questione.
segui anche il suggerimento di Gatto89, anche se in questo caso particolare non ci sono complicazioni rispetto allo studio di solo l'ultima cifra, perché si alternano come ultime due cifre 99 e 01, per cui il metodo precedente dovrebbe funzionare (e la risposta al problema è 99).
mi sto accorgendo che nel secondo esercizio si chiedevano le ultime due cifre...
in tal caso è un po' più delicata la questione.
segui anche il suggerimento di Gatto89, anche se in questo caso particolare non ci sono complicazioni rispetto allo studio di solo l'ultima cifra, perché si alternano come ultime due cifre 99 e 01, per cui il metodo precedente dovrebbe funzionare (e la risposta al problema è 99).
Nel caso di $1999^2001$ si tratta di trovare:
$1999^2001 (mod 100)$
Qui abbiamo che $gcd(1999^2001,100)=1$ e quindi sempre per Fermat:
$a^phi(100)\equiv 1 (100)$
Ma $phi(100)=100*(1-1/2)*(1-1/5)=40$
Allora:
$1999^2001 \equiv 1999^(50*40+1) \equiv 1999 \equiv 99(100)$
$1999^2001 (mod 100)$
Qui abbiamo che $gcd(1999^2001,100)=1$ e quindi sempre per Fermat:
$a^phi(100)\equiv 1 (100)$
Ma $phi(100)=100*(1-1/2)*(1-1/5)=40$
Allora:
$1999^2001 \equiv 1999^(50*40+1) \equiv 1999 \equiv 99(100)$
Il secondo problema mica l'avevo letto 
Per quello puoi partire dal fatto che $1999 \equiv -1 (mod 100)$.
Da cui $1999^(2001) \equiv (-1)^(2001) (mod 100) = -1 (mod 100) \equiv 99 (mod 100)$
Per quello puoi partire dal fatto che $1999 \equiv -1 (mod 100)$.
Da cui $1999^(2001) \equiv (-1)^(2001) (mod 100) = -1 (mod 100) \equiv 99 (mod 100)$
Grazie Gatto
Mi stai facendo crescere !
Mi stai facendo crescere !
Prego
"adaBTTLS":
[...]
per l'ultima cifra ti interessano solo le unità, quindi puoi considerare le potenze a base 3 anziché 13. se esamini l'ultima cifra delle potenze di 3:
3,9,7,1,3,... si ripetono ogni 4. a te serve la potenza tredicesima, e $13-=1(mod4)$, dunque la cifra finale è la stessa di $3^1$, cioè $3$.
[...]
Non conoscevo questo metodo.. io personalmente avrei cercato di risolvere $13^13\ (mod\ 10)$ e quindi, applicando il teorema di eulero, $13^13-=13^(4*3+1)-=13-=3\ (mod\ 10)$
Però in questo modo non riesco a trovare l'ultima cifra degli $a^m$ con $MDC(a, 10) != 1$, ad esempio trovare l'ultima cifra di $2^20$.
Non posso ovviamente applicare Eulero perché 2 e 10 non sono coprimi.. ma non riesco a trovare il risultato giusto nemmeno il metodo che hai applicato tu!
Infatti: le potenze di due terminano con 2,4,8,6 (ho escluso il caso $2^0$ perché nemmeno tu lo hai considerato..)
Ora però ho che $20-=0\ (mod\ 4)$! ma $2^20$ non può terminare per 1!
..in questo caso per risolvere ho agito così: $2^20-=2^(4*5)\ (mod\ 5)$ e quindi per Eulero $2^20-=1\ (mod\ 5)$ e dato che non può terminare per $1$ ne deduco che termina per $6$ (ed in effetti l'ultima cifra di $2^20$ risulta essere proprio $6$).
In altri casi, cosa avrei potuto fare?
Come trovo, per esempio, l'ultima cifra di $4^25$ o di $18^91$ ?
per quanto riguarda $2^20$, se non consideri 0 devi considerare 4 (nella congruenza modulo 4), dunque è come $2^4$ (perché 20 è un multiplo di 4), cioè l'ultima cifra è 6.
per $4^25$ consideri 4,6,4,6,4,6,..., 25 è dispari per cui l'ultima cifra è 4
$18^91$, consideri 8,4,2,6,8,4,2,6,.. (si ripetono ogni 4), e 91=4*22+3, dunque l'ultima cifra è 2.
è chiaro? ciao.
per $4^25$ consideri 4,6,4,6,4,6,..., 25 è dispari per cui l'ultima cifra è 4
$18^91$, consideri 8,4,2,6,8,4,2,6,.. (si ripetono ogni 4), e 91=4*22+3, dunque l'ultima cifra è 2.
è chiaro? ciao.
"adaBTTLS":
per quanto riguarda $2^20$, se non consideri 0 devi considerare 4 (nella congruenza modulo 4), dunque è come $2^4$ (perché 20 è un multiplo di 4), cioè l'ultima cifra è 6.
per $4^25$ consideri 4,6,4,6,4,6,..., 25 è dispari per cui l'ultima cifra è 4
$18^91$, consideri 8,4,2,6,8,4,2,6,.. (si ripetono ogni 4), e 91=4*22+3, dunque l'ultima cifra è 2.
è chiaro? ciao.
Chiarissimo!!
Grazie mille!
prego!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo