Topologie di gruppo - Lemma di Merson
Salve a tutti, sono Marco, nuovo del Forum. Volevo sottoporvi una questione che riguarda la dimostrazione di un lemma (che in un articolo che ho letto veniva chiamato Lemma di Merson, ma non veniva dimostrato) nell'ambito dei gruppi topologici: il teso è questo:
Dato un gruppo topologico $(G,T)$, $H$ sottogruppo di $G$ e una topologia meno fine $\tau\subset T$ tale che $\tau |_H=T|_H$ e $T / H=\tau / H$ allora $\tau=T$.
Quindi il tutto sta nel far vedere che la topologia $T$ è meno fine di $\tau$, attraverso gli intorni dell'identità (trattandosi di un gruppo topologico). Per cui dato un $\T$-intorno $U$ devo costruire un $\tau$-intorno $V$ che è incluso in $U$.
Le ipotesi possono essere riassunte in termini operativi tra intorno così: data q la mappa quoziente da $G$ a $G/H$,
$\forall$ $V\in\mathcal{V}_T(e)$ esiste $V_1,V_2\in\mathcal{V}_\tau(e)$ tali che $V_1\cap H\subset U\cap H$ e $q(V_2)\subset q(U)$
$\forall$ $U\in\mathcal{V}_\tau(e)$ esiste $U_1\in\mathcal{V}_T(e)$ tali che $U_1\subset U$.
L'unica dimostrazione di cui dispongo è quella tratta da: "Topological Groups - Dikranjan, Prodanov, Stoyanov" che vi presento qui evidenziando i dubbi che mi sono sorti (e non solo a me ma anche al mio relatore il quale mi aveva proposto una dimostrazione alternativa che io ho disgraziatamente perso):
Sia $U$ un $T$-intorno di $e$, allora esiste un $\tau$-intorno V tale che $(VV^{-1})\cap H\subset U$, dall'ipotesi che la restrizione ad $H$ delle due topologie coincide. $W=(U\cap V)H=q^{-1}(U\cap V)$ risulta un $\tau$-intorno. Verifichiamo che $W\subset U^2$. Sia $w\in W$ allora esisto $x\in U\cap V$ e $h\in H$ tali che $w=xh$. Allora $h=x^{-1}w \in ((U\cap V)^{-1}W)\cap H\subset VV^{-1}\cap H\subset U$.
Per cui $w\in U^2$ e quindi $W\subset U^2$. Da cui la tesi.
Il mio dubbio riguarda le inclusioni tra gli intorni infatti:
$(U\cap V)^{-1}W=(U\cap V)^{-1}(U\cap V)H\cap H\subset V^{-1}V H\cap H$
Per cui almeno a mio avviso non si riesce a giungere alla tesi.
Grazie in anticipo per la collaborazione.
M.
Dato un gruppo topologico $(G,T)$, $H$ sottogruppo di $G$ e una topologia meno fine $\tau\subset T$ tale che $\tau |_H=T|_H$ e $T / H=\tau / H$ allora $\tau=T$.
Quindi il tutto sta nel far vedere che la topologia $T$ è meno fine di $\tau$, attraverso gli intorni dell'identità (trattandosi di un gruppo topologico). Per cui dato un $\T$-intorno $U$ devo costruire un $\tau$-intorno $V$ che è incluso in $U$.
Le ipotesi possono essere riassunte in termini operativi tra intorno così: data q la mappa quoziente da $G$ a $G/H$,
$\forall$ $V\in\mathcal{V}_T(e)$ esiste $V_1,V_2\in\mathcal{V}_\tau(e)$ tali che $V_1\cap H\subset U\cap H$ e $q(V_2)\subset q(U)$
$\forall$ $U\in\mathcal{V}_\tau(e)$ esiste $U_1\in\mathcal{V}_T(e)$ tali che $U_1\subset U$.
L'unica dimostrazione di cui dispongo è quella tratta da: "Topological Groups - Dikranjan, Prodanov, Stoyanov" che vi presento qui evidenziando i dubbi che mi sono sorti (e non solo a me ma anche al mio relatore il quale mi aveva proposto una dimostrazione alternativa che io ho disgraziatamente perso):
Sia $U$ un $T$-intorno di $e$, allora esiste un $\tau$-intorno V tale che $(VV^{-1})\cap H\subset U$, dall'ipotesi che la restrizione ad $H$ delle due topologie coincide. $W=(U\cap V)H=q^{-1}(U\cap V)$ risulta un $\tau$-intorno. Verifichiamo che $W\subset U^2$. Sia $w\in W$ allora esisto $x\in U\cap V$ e $h\in H$ tali che $w=xh$. Allora $h=x^{-1}w \in ((U\cap V)^{-1}W)\cap H\subset VV^{-1}\cap H\subset U$.
Per cui $w\in U^2$ e quindi $W\subset U^2$. Da cui la tesi.
Il mio dubbio riguarda le inclusioni tra gli intorni infatti:
$(U\cap V)^{-1}W=(U\cap V)^{-1}(U\cap V)H\cap H\subset V^{-1}V H\cap H$
Per cui almeno a mio avviso non si riesce a giungere alla tesi.
Grazie in anticipo per la collaborazione.
M.
Risposte
Benvenuto Marco,
potresti spiegare il simbolo \(T/H\)?
potresti spiegare il simbolo \(T/H\)?
Si, certo, intendo la topologia sul quoziente $G/H$ (non mi riesce di scrivere il solito simbolo per il quoziente) ottenuta considerando gli aperti nel quoziente gli insieme la cui controimmagine rispetto alla mappa quoziente è aperta nella topologia di partenza.
$\tau/H=$ {$U\subset G/H, q^{-1}(U)\in \tau$}
$\tau/H=$ {$U\subset G/H, q^{-1}(U)\in \tau$}
Pensandoci un attimo: ma \(H\) dev'essere un sottogruppo normale di \(G\) oppure \(G\) è un gruppo abeliano? 
Si credo che si supponga di essere nelle ipotesi in cui il quoziente considerato abbia senso, come dici tu.
Prima che tu inizi ad esporre la dimostrazione, non dovresti scrivere \(q(V_2)=q(U)\) a causa dell'ipotesi \(T_{/H}=\tau_{/H}\)?
Anche io lo pensavo, ma sono stato smentito dal mio Prof, il quale mi ha impostato la dimostrazione traducendo le ipotesi come relazioni tra intorni così come le ho scritte.
Pensadoci userei come trucco la successione degli insiemi aperti \(U_n\) che ho descritto qui: riesci a sviluppare l'idea oppure dovrò pensarci io (dopo il 31 gennaio 2013)?
"Marcos87":Non mi dire nulla, ma questa riga proprio non mi convince!
...$\forall$ $V\in\mathcal{V}_T(e)$ esiste $V_1,V_2\in\mathcal{V}_\tau(e)$ tali che $V_1\cap H\subset V\cap H$ e $q(V_2)\subset q(V)$...
Sulla seconda affermazione mi hai già assicurato, ma sulla prima non vi dovrebbe essere l'eguaglianza o l'inclusione inversa per l'ipotesi che \(\tau_H=T_H\)...
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