Tipologia numero irrazionale

[chess71]

un dubbio: $2^sqrt2$ è un irrazionale trascendente?

[plum]

Non vorrei dire una cavolata, ma $2^{\sqrt2}=e^{\sqrt2log2}=2e^{sqrt2}$ e poiché $\sqrt2$ è algebrico, $e^{sqrt2}$ è trascendente (teorema di Lindemann-Weierstrass) il che conclude la dimostrazione.

[Lorin1]

Non mi è chiaro il passaggio $e^(sqrt(2)log2)=2e^(sqrt(2))$

e poi che significa "irrazionale trascendente!?"

[Paolo902]

"Lorin":Non mi è chiaro il passaggio $e^(sqrt(2)log2)=2e^(sqrt(2))$

E infatti è sbagliato: $e^{ab}=(e^a)^b ne e^ae^b=e^{(a+b)}$...

"Lorin":e poi che significa "irrazionale trascendente!?"

Significa che è un numero irrazionale e trascendente, cioè non algebrico... C'è qualcosa che non ti convince?

[Lorin1]

Si sul primo passaggio sono d'accordo con te, volevo vedere l'utente cosa diceva

Per la domanda, beh...l'ho fatta perchè nonostante l'esame di teoria di Galois da poco sostenuto mi suona nuovo come termine, per questo. Di solito ho sempre indicato come trascendenti tutti gli elementi non algebrici.

[Paolo902]

Scusami per la domanda relativa al primo passaggio, non avevo capito che era rivolta all'utente e ci sono cascato come un pollo

Per quanto riguarda la nomenclatura sono d'accordo con te, l'aggettivo irrazionale è superfluo, però... meglio abbondare, no?

[Lorin1]

Più ce n'è meglio è!

Figurati non ti preoccupare è sempre un piacere parlare di matematica con chi è preparato.

[totissimus]

Ilnumero \(2^{\sqrt{2}}\) è trascendente per il teorema di Gelfond Schneider:
se \(\alpha\) e \( \beta\) sono numeri algebrici con \( \alpha \neq 0,1\) e \( \beta\) irrazionale allora \( \alpha^{\beta}\) è trascendente.