Tetrazioni e sequenze concatenate
Posto un risultato astrattamente utile per risolvere alcuni problemi di matematica ricreativa, inerenti a particolari sequenze costruite giustapponendo cifre alla sinistra di altri numeri noti: le c.d. "sequenze concatenate rovesciate".
Nell’ambito della matematica ricreativa sono relativamente note le sequenze di interi create da Florentin Smarandache. Tra le più famose cito quella consecutiva [tex]\ (1,12,123,1234, ... ,123456789,12345678910,...)[/tex], quella circolare [tex]\ (1,12,21,123,231,312,1234,3412,...)[/tex] e quella dei primi concatenati [tex]\ (2,23,235,2357,235711,...)[/tex] (cfr. F. Smarandache, “Only problems, not solutions!”, Xiquan Publ. House, Phoenix-Chicago, 1993 - fourth edition). Sono state introdotte anche le sequenze speculari rispetto a molte delle precedenti: la “reverse sequence” ad esempio è definita come [tex]\ RS(n):=1,21,321,4321,...[/tex] ; lo stesso dicasi per quella dei numeri primi concatenati e una miriade di altre.
Proponiamoci ora di formulare delle relazioni di congruenza tra elementi distinti appartenenti a queste sequenze.
A tal proposito, definiamo preliminarmente l’intera gamma delle sequenze concatenate (speculari) costruite “aggiungendo” almeno una cifra alla sinistra del termine precedente e lasciando le restanti cifre invariate. In pratica l’(n+1)esimo termine differirà dall’ennesimo solo per le prime [tex]\ d(n+1)-d(n) >=1[/tex] cifre; [tex]\ d(n) >=n[/tex] indica la quantità di cifre che restano invariate tra l’ennesimo termine e il successivo, mentre [tex]\ d(n+1)[/tex] corrisponde alla numerosità totale delle cifre di cui consta l’(n+1)esimo elemento della successione.
Raggruppiamo l’intera famiglia di queste sequenze sotto il simbolo [tex]\ G(n)[/tex]; ne faranno quindi parte [tex]\ RS(n), 2,32,532,7532,...[/tex] e tantissime altre.
Siamo ora pronti per l’enunciazione del “Lemma concatenante” (è il frutto di una mia elucubrazione e mi piace chiamarlo così), il quale postula che
[tex]\ [^{G(n)} G(n)](mod\ 10^{d}) == [^{G(n+1)} G(n+1)](mod\ 10^{d})[/tex], [tex]\forall n \in \mathbb{N}-\{0\}[/tex], purché [tex]G(1) \not = 2.[/tex]
N.B.
Se [tex]\ G(1)=2[/tex], la congruenza precedente vale [tex]\forall n \le 2[/tex] . Tale caso particolare è conseguenza di una nota eccezione, scaturente dall’utilizzo della base [tex]a=2[/tex] (oltre che dal “ridottissimo” valore della base stessa); in quella circostanza, infatti, la cifra meno significativa (l’unica) di [tex]\ ^{2}2[/tex] non è una cifra fissa.
Il Lemma concatenante postula che, considerando una generica sequenza i cui termini sono costruiti concatenando (con qualunque criterio) cifre alla sinistra di quelle che formano l’elemento precedente della stessa successione, le tetrazioni di due qualsiasi elementi contigui (poniamo siano l’ennesimo e l’(n+1)esimo) presentano le stesse [tex]\ d(n)[/tex] cifre finali (sono congruenti in modulo [tex]\ 10^{d}[/tex]). Ricordo che [tex]\ d(n)[/tex] corrisponde al numero delle cifre di cui è composto il termine ennesimo.
Volendo, possiamo estendere tale risultato considerando l’insieme di tutti i termini adiacenti, i quali sono tra loro congruenti in [tex]\ mod\ 10^{d}[/tex] ma non in [tex]\ mod\ 10^{d+1}[/tex]). È facile rendersi conto che, sotto le suddette ipotesi, applicando le tetrazioni di altezza pari alle basi stesse (cioè ai due elementi contigui), otteniamo una coppia di numeri congruenti tra loro in ([tex]\ mod\ 10^{d}[/tex]), a patto che una delle due basi non sia il 2.
P.S. Ho editato il testo originale, tagliando/modificando alcuni periodi, per non lasciare parti scorrelate che rimandano ad altre porzioni di testo. Spero comunque che l'esposizione non risulti troppo lacunosa
Nell’ambito della matematica ricreativa sono relativamente note le sequenze di interi create da Florentin Smarandache. Tra le più famose cito quella consecutiva [tex]\ (1,12,123,1234, ... ,123456789,12345678910,...)[/tex], quella circolare [tex]\ (1,12,21,123,231,312,1234,3412,...)[/tex] e quella dei primi concatenati [tex]\ (2,23,235,2357,235711,...)[/tex] (cfr. F. Smarandache, “Only problems, not solutions!”, Xiquan Publ. House, Phoenix-Chicago, 1993 - fourth edition). Sono state introdotte anche le sequenze speculari rispetto a molte delle precedenti: la “reverse sequence” ad esempio è definita come [tex]\ RS(n):=1,21,321,4321,...[/tex] ; lo stesso dicasi per quella dei numeri primi concatenati e una miriade di altre.
Proponiamoci ora di formulare delle relazioni di congruenza tra elementi distinti appartenenti a queste sequenze.
A tal proposito, definiamo preliminarmente l’intera gamma delle sequenze concatenate (speculari) costruite “aggiungendo” almeno una cifra alla sinistra del termine precedente e lasciando le restanti cifre invariate. In pratica l’(n+1)esimo termine differirà dall’ennesimo solo per le prime [tex]\ d(n+1)-d(n) >=1[/tex] cifre; [tex]\ d(n) >=n[/tex] indica la quantità di cifre che restano invariate tra l’ennesimo termine e il successivo, mentre [tex]\ d(n+1)[/tex] corrisponde alla numerosità totale delle cifre di cui consta l’(n+1)esimo elemento della successione.
Raggruppiamo l’intera famiglia di queste sequenze sotto il simbolo [tex]\ G(n)[/tex]; ne faranno quindi parte [tex]\ RS(n), 2,32,532,7532,...[/tex] e tantissime altre.
Siamo ora pronti per l’enunciazione del “Lemma concatenante” (è il frutto di una mia elucubrazione e mi piace chiamarlo così), il quale postula che
[tex]\ [^{G(n)} G(n)](mod\ 10^{d}) == [^{G(n+1)} G(n+1)](mod\ 10^{d})[/tex], [tex]\forall n \in \mathbb{N}-\{0\}[/tex], purché [tex]G(1) \not = 2.[/tex]
N.B.
Se [tex]\ G(1)=2[/tex], la congruenza precedente vale [tex]\forall n \le 2[/tex] . Tale caso particolare è conseguenza di una nota eccezione, scaturente dall’utilizzo della base [tex]a=2[/tex] (oltre che dal “ridottissimo” valore della base stessa); in quella circostanza, infatti, la cifra meno significativa (l’unica) di [tex]\ ^{2}2[/tex] non è una cifra fissa.
Il Lemma concatenante postula che, considerando una generica sequenza i cui termini sono costruiti concatenando (con qualunque criterio) cifre alla sinistra di quelle che formano l’elemento precedente della stessa successione, le tetrazioni di due qualsiasi elementi contigui (poniamo siano l’ennesimo e l’(n+1)esimo) presentano le stesse [tex]\ d(n)[/tex] cifre finali (sono congruenti in modulo [tex]\ 10^{d}[/tex]). Ricordo che [tex]\ d(n)[/tex] corrisponde al numero delle cifre di cui è composto il termine ennesimo.
Volendo, possiamo estendere tale risultato considerando l’insieme di tutti i termini adiacenti, i quali sono tra loro congruenti in [tex]\ mod\ 10^{d}[/tex] ma non in [tex]\ mod\ 10^{d+1}[/tex]). È facile rendersi conto che, sotto le suddette ipotesi, applicando le tetrazioni di altezza pari alle basi stesse (cioè ai due elementi contigui), otteniamo una coppia di numeri congruenti tra loro in ([tex]\ mod\ 10^{d}[/tex]), a patto che una delle due basi non sia il 2.
P.S. Ho editato il testo originale, tagliando/modificando alcuni periodi, per non lasciare parti scorrelate che rimandano ad altre porzioni di testo. Spero comunque che l'esposizione non risulti troppo lacunosa
Risposte
Edit: ok, credo che sia a posto ora 
Sorry, ho editato... ora dovrebbe essere ok
Inserisco un esempio per illustrare meglio il concetto:
Consideriamo la summenzionata sequenza [tex]\ (2,32,532,7532,117532,13117532,1713117532, …)[/tex] e controlliamo
che l’asserto sia veritiero.
[tex]\ ^{2}2=4,\ ^{32}32(mod\ 10^2)≡76,\ ^{532}532(mod\ 10^3)≡176,\ ^{7532}7532(mod\ 10^4)≡4176,\ ^{117532}117532(mod\ 10^6)≡314176,[/tex]
[tex]\ ^{13117532}13117532(mod\ 10^8)≡91314176,\ ^{1713117532}1713117532(mod\ 10^{10})≡0891314176[/tex].
Consideriamo la summenzionata sequenza [tex]\ (2,32,532,7532,117532,13117532,1713117532, …)[/tex] e controlliamo
che l’asserto sia veritiero.
[tex]\ ^{2}2=4,\ ^{32}32(mod\ 10^2)≡76,\ ^{532}532(mod\ 10^3)≡176,\ ^{7532}7532(mod\ 10^4)≡4176,\ ^{117532}117532(mod\ 10^6)≡314176,[/tex]
[tex]\ ^{13117532}13117532(mod\ 10^8)≡91314176,\ ^{1713117532}1713117532(mod\ 10^{10})≡0891314176[/tex].
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