Teoria sui polinomi,

[gaten]

Ragazzi riguardo alla teoria dei polinomi , è corretto se dico che:

In $F[x]$ ammettiamo polinomi irriducibili che ammettono radici in $F$.
Inoltre $AA F$, cioè qualsiasi sia il campo preso in considerazione, se:

1) f è irriducibile e grado di f > 1 => f non ha radici!

se avesse radice c, $f=(x-c)*g$ e
$x-c|f$ non è nè associato nè invertibile.

Inoltre tutti i polinomi di grado 1, hanno sempre radici in f e sono sempre irriducibili.

sui miei appunti ho anche il seguente corollario :
Se R è un dominio d'integrità, gli elementi invertibili di $R[x]$ sono tutti e soli gli elementi invertibili di $R$; in particolare, se F è un campo, gli elementi inveritibili di $F[x]$ sono tutte le constanti non nulle.
Qualcuno può spiegarmi meglio cosa dice questo corollario?


Potete chiarirmi un pò i concetti che ho scritto?

Grazie mille.

[gundamrx91-votailprof]

Gaten cosa precisamente non ti è chiaro?

[gaten]

quello che ho scritto soprattutto il punto 1

[gundamrx91-votailprof]

Scusa, ma l'irriducibilità di un polinomio non dipende dall'anello/campo preso in considerazione?
Ad esempio in $ZZ[x]$ il polinomio $p(x)=x^2-2$ è irriducibile, ma non in $RR[x]$ che ha radici $(x+sqrt(2))(x-sqrt(2))$; sempre che abbia inteso bene la domanda

[gaten]

Allora, prendendo in considerazione i diversi campi, sò quali sono i criteri di irriducibilità.
Ad esempio in $R[x]$ un polinomio è irriducibile se è di grado 1 oppure se è di grado 2 e il delta è negativo.
In $C[x]$ i polinomi irriducibili sono tutti e soli i polinomi di grado 1.
In $Q[x]$ si fa riferimento al criterio di Eisenstein, ma fornisce condizioni sufficienti ma non necessarie per l'irriducibilità in $Q[x]$
In $Z[x]$ non esiste un criterio preciso,

Quello che domandavo se f è irriducibile e il $delta(f) > 1$ allora f non ha radici???

Inoltre, tutti i polinomi in $F$ sono irriducibili???

[gundamrx91-votailprof]

Da quello che ho visto non è detto che un polinomio irriducibile non ammetta radici, ma al momento non so darti risposte certe. Spero in una risposta di qualcun'altro perchè interessa anche me.

[Paolo902]

"gaten": Quello che domandavo se f è irriducibile e il $delta(f) > 1$ allora f non ha radici???

Con $delta(f)$ indichi il grado del polinomio, dico bene?
Se è così allora è corretto quanto affermi, a patto di precisare che $f$ non ha radici in $F$, cioè nel campo in cui stai lavorando (è importante questa cosa, perché potresti costruire campi in cui il polinomio ha tutte le radici: siffatti campi si chiamano campi di spezzamento).

Tieni presente che l'inverso di quello che hai scritto vale solo se il grado è 2 o 3; esistono polinomi di grado maggiore al terzo che, pur non avendo radici nel campo in cui si lavora, si fattorizzano: ad esempio, [tex]\mathbb{R}[X] \ni X^4+1 = (X^2-\sqrt{2}X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1)[/tex].

[gundamrx91-votailprof]

Quindi in generale dipende dal campo preso in considerazione l'irriducibilità/l'esistenza delle radici?

[Paolo902]

"GundamRX91":Quindi in generale dipende dal campo preso in considerazione l'irriducibilità/l'esistenza delle radici?

Ma certamente, Gundam: considera già solo $X^2-2$. Su $QQ$ la vedo dura scomporlo, su $RR$ direi che è una banalità.