Teoria e modelli, connessioni di Galois

[salvozungri]

Ciao a tutti
Sono alle prese con logica matematica, mi sta facendo impazzire perchè non ho forti basi di algebra e visto che la mia insegnante si rifà continuamente a questa io mi trovo ingolfato di lavoro, (devo recuperare i concetti di algebra e in più imparare il severo linguaggio della logica matematica così imparo a studiare superficialmente!!)

Come al solito metto in spoiler le definizioni che ci interessano:

Di seguito indicherò con [tex]\mathcal{M}_\tau[/tex] la famiglia di [tex]\tau[/tex]-strutture, con [tex]\mathcal{E}_\tau[/tex] la famiglia di enunciati

Definizione di Teoria:
• Si chiama teoria elementare del linguaggio [tex]\mathcal{L}_\tau[/tex], un qualunque insieme [tex]T[/tex] di enunciati di [tex]\mathcal{L}_{\tau}[/tex]
Definizione di Modello (Mod):
• Una struttura [tex]\mathcal{A}[/tex] è un modello della teoria [tex]T[/tex] (in simboli [tex]\mathcal{A}\models T[/tex]), se in[tex]\mathcal{A}[/tex] è vero [tex]\varphi[/tex] (in simboli [tex]\mathcal{A}\models\varphi\quad\forall\varphi\in T[/tex] ). In altre parole Una struttura è un modello per la teoria T se ogni enunciato della teoria T è vero nella struttura.
Con [tex]Mod(T):=\left\{\mathcal{A}\in\mathcal{M}_\tau|\mathcal{A}\models T\right\}[/tex], in pratica con [tex]Mod(T)[/tex] indichiamo la famiglia di strutture [tex]\mathcal{A}[/tex] che sono un modello per la teoria elementare [tex]T[/tex]
Definizione di Teoria (Th)
•Data [tex]\Gamma\subset\mathcal{M}_\tau[/tex], classe di [tex]\tau[/tex]-strutture, si definisce Teoria l'insieme di tutti gli enunciati veri in [tex]\mathcal{A}\in \Gamma\quad\forall\mathcal{A}\in\Gamma[/tex] in formule:
[tex]Th(\Gamma):= \left\{\varphi\in \mathcal{E}_\tau| \forall \mathcal{A}\in \Gamma, \mathcal{A}\models \varphi\right\}[/tex]

Abbiamo introdotto due funzioni:
[tex]Th:\left <\mathcal{P}(\mathcal{M}_\tau), \subseteq \right >\to \left <\mathcal{P}(\mathcal{E}_\tau), \subseteq\right >[/tex]
[tex]Mod:\left <\mathcal{P}(\mathcal{E}_\tau, \subseteq)\right >\to \left <\mathcal{P}(\mathcal{M}_\tau), \subseteq \right >[/tex]

Connessione di Galois
• Siano dati due insiemi \(\left, \left\) (su P e Q, vi è definita una relazione d'ordine, potremmo parlare di Posets= insiemi parzialmente ordinati)
[tex]\alpha: Q\to P[/tex] e [tex]\beta: P\to Q[/tex] sono due funzioni per cui valgono le seguenti condizioni:
[tex]\forall p_1, p_2, p\in P\text{ e }\forall q_1, q_2, q\in Q[/tex]
1. [tex]p_1\le p_2\implies \beta(p_2)\le \beta(p_1)[/tex]
2. [tex]q_1\le q_2\implies \alpha(q_2)\le \alpha(q_1)[/tex]
3. [tex]q\le \beta(p)\iff p\le \alpha(q)[/tex]
[tex]\alpha\text{ e }\beta[/tex] sono dette connessione di Galois

Se siete sopravvissuti allo spoiler a questo punto arriva l'esercizio:
Viene chiesto di dimostrare che
[tex]Th:\left <\mathcal{P}(\mathcal{M}_\tau), \subseteq \right >\to \left <\mathcal{P}(\mathcal{E}_\tau), \subseteq\right >[/tex]
[tex]Mod:\left <\mathcal{P}(\mathcal{E}_\tau), \subseteq\right >\to \left <\mathcal{P}(\mathcal{M}_\tau), \subseteq \right >[/tex]
sono una connessione di Galois.

Tentativo di soluzione:

Sull'insieme delle parti [tex]\mathcal{P}(\mathcal{M}_\tau)[/tex] è definita una relazione d'ordine [tex]\subseteq[/tex] così come sull'insieme delle parti [tex]\mathcal{P}(\mathcal{E}_\tau)[/tex], dobbiamo provare che le funzioni [tex]Mod[/tex]e [tex]Th[/tex] godono delle proprietà 1., 2., 3. (sono nello spoiler ).

Inizio con la 1., traducendola nella forma che mi interessa:
1. Siano [tex]T_1, T_2\in \mathcal{P}(\mathcal{E}_\tau)[/tex] tali che [tex]T_1\subseteq T_2[/tex] allora [tex]Mod(T_2)\subseteq Mod(T_1)[/tex]

Proof:Sia [tex]\mathcal{A}\in Mod(T_2), \mathcal{A}[/tex] è per definzione di [tex]Mod[/tex], un modello per la teoria [tex]T_2[/tex], pertanto per ogni enunciato della teoria [tex]T_2[/tex], [tex]\varphi[/tex], [tex]\mathcal{A}\models\varphi[/tex] cioè [tex]\varphi[/tex] è vero in [tex]\mathcal{A}[/tex]. Poichè vale per ogni [tex]\varphi\in T_2[/tex] allora varrà anche per ogni enunciato di [tex]T_1[/tex] essendo quest'ultimo contenuto in [tex]T_2[/tex], possiamo quindi asserire che ogni modello di [tex]T_2[/tex] è anche un modello di [tex]T_1[/tex] di conseguenza:
[tex]Mod(T_2)\subseteq Mod(T_1)[/tex]

[Edit]: Dopo una piccola pausa continuo:

2. Siano [tex]\Gamma_1, \Gamma_2\in \mathcal{P}(\mathcal{M}_\tau)[/tex] due classi di [tex]\tau[/tex]-strutture tali che [tex]\Gamma_1\subseteq\Gamma_2[/tex] allora [tex]Th(\Gamma_2)\subseteq Th(\Gamma_1)[/tex]

Proof: Sia [tex]\varphi\in Th(\Gamma_2)[/tex], allora per ogni [tex]\tau[/tex]-struttura [tex]\mathcal{A}\in \Gamma_2[/tex] si ha che [tex]\mathcal{A}\models\varphi[/tex], cioè [tex]\varphi[/tex] è vera in [tex]\mathcal{A}[/tex] per ogni [tex]\mathcal{A}\in \Gamma_2[/tex]. Poichè [tex]\Gamma_1\subseteq \Gamma_2[/tex] allora per ogni [tex]\tau[/tex]-struttura [tex]\mathcal{A}\in \Gamma_1\quad \mathcal{A}\models\varphi[/tex], pertanto [tex]\varphi\in Th(\Gamma_1)\quad\forall \varphi\in Th(\Gamma_2)[/tex] , da qui segue la tesi.

Il caso che segue è quello che mi preoccupa di più
3. Siano [tex]\Gamma[/tex] una classe di [tex]\tau[/tex]-strutture, [tex]T[/tex] è una teoria elementare allora:
[tex]\Gamma\subseteq Mod(T)\iff T\subseteq Th(\Gamma)[/tex]

Proof: $=>$ Se [tex]\Gamma \subseteq Mod(T)\implies T\subseteq Th(\Gamma)[/tex]
Se [tex]\varphi[/tex] è un enunciato di [tex]T[/tex] allora [tex]\forall\mathcal{A}\in Mod(T)[/tex], in [tex]\mathcal{A}[/tex] è vero [tex]\varphi[/tex], in formule [tex]\mathcal{A}\models\varphi[/tex] pertanto [tex]\forall \mathcal{A}\in\Gamma, \mathcal{A}\models\varphi[/tex] quindi, [tex]\varphi\in Th(\Gamma)[/tex], ma qui mi blocco e non so continuare, sicuramente sarà una sciocchezza, ma non riesco a concludere.

Qualsiasi consiglio è bene accetto, grazie

[salvozungri]

Manca da dimostrare il ritorno della 3.
$lArr$ Se [tex]T\subseteq Th(\Gamma)\implies \Gamma\subseteq Mod(T)[/tex]

Sia [tex]\mathcal{A}\in\Gamma[/tex] una struttura allora [tex]\forall\varphi\in Th(\Gamma)[/tex], [tex]\varphi[/tex] è vero in [tex]\mathcal{A}[/tex], poichè vale per ogni enunciato [tex]\varphi\in Th(\Gamma)[/tex] allora varrà anche per ogni enunciato [tex]\varphi\in T[/tex], poichè per ipotesi [tex]T\subseteq Th(\Gamma)[/tex], pertanto in [tex]\mathcal{A}[/tex] è vero [tex]\varphi[/tex] e dunque [tex]\mathcal{A}\in Mod(T)[/tex].

Fine