Teoria di Galois e campi di numeri
Ciao a tutti, ho un dubbio che non riesco a risolvere sul seguente esercizio.
Considero $f(X) = X^3 + X + 5 $ e $g(X)=X^7 -1$ entrambi in $QQ[X]$. Sia E il campo di spezzamento di f(X)g(X). Calcolare $[E]$ e trovare il gruppo di Galois di E.
Ora, chiamo $E_f$ ed $E_g$ i campi di spezzamento dei rispettivi polinomi con $G_f$ e $G_g$ gruppi di Galois: essi sono (astrattamente, ovvero a meno di isomorfismo) $S_3$ per f(X) e $ZZ/(6ZZ)$ per g(X), quindi entrambi i campi di spezzamento hanno indice 6 su $QQ$. Ora vorrei dimostrare che $E_f nn E_g = QQ$, da cui conseguirebbe subito che $G_(E|QQ) ~= S_3 x ZZ/(6ZZ)$ (x sta per il prodotto diretto di gruppi mentre $~=$ indica un isomorfismo di gruppi).
Solo, come lo dimostro?
Ho notato due cose che potrebbero essere utilizzate:
la prima è che $G_g$, essendo ciclico, è anche abeliano e quindi tutti i suoi sottogruppi sono normali, di conseguenza tutti i sottocampi di $E_g$ che contengano $QQ$ sono normali.
La seconda è che $S_3$ ha $A_3$ come suo unico sottogruppo normale, quindi l'unico sottocampo non banale di $E_f$ che potrebbe essere contenuto anche in $E_g$ sarebbe quello corrispondente ad $A_3$. Da qui però non so proprio come andare avanti.
come sempre qualunque suggerimento su come sbloccare la situazione è gradito. Vi saluto tutti nel frattempo
Considero $f(X) = X^3 + X + 5 $ e $g(X)=X^7 -1$ entrambi in $QQ[X]$. Sia E il campo di spezzamento di f(X)g(X). Calcolare $[E]$ e trovare il gruppo di Galois di E.
Ora, chiamo $E_f$ ed $E_g$ i campi di spezzamento dei rispettivi polinomi con $G_f$ e $G_g$ gruppi di Galois: essi sono (astrattamente, ovvero a meno di isomorfismo) $S_3$ per f(X) e $ZZ/(6ZZ)$ per g(X), quindi entrambi i campi di spezzamento hanno indice 6 su $QQ$. Ora vorrei dimostrare che $E_f nn E_g = QQ$, da cui conseguirebbe subito che $G_(E|QQ) ~= S_3 x ZZ/(6ZZ)$ (x sta per il prodotto diretto di gruppi mentre $~=$ indica un isomorfismo di gruppi).
Solo, come lo dimostro?
Ho notato due cose che potrebbero essere utilizzate:
la prima è che $G_g$, essendo ciclico, è anche abeliano e quindi tutti i suoi sottogruppi sono normali, di conseguenza tutti i sottocampi di $E_g$ che contengano $QQ$ sono normali.
La seconda è che $S_3$ ha $A_3$ come suo unico sottogruppo normale, quindi l'unico sottocampo non banale di $E_f$ che potrebbe essere contenuto anche in $E_g$ sarebbe quello corrispondente ad $A_3$. Da qui però non so proprio come andare avanti.
come sempre qualunque suggerimento su come sbloccare la situazione è gradito. Vi saluto tutti nel frattempo
Risposte
ah, una piccola aggiunta: il professore mi ha detto che l'unica estensione normale di $QQ$ contenuta in $E_f$ è $QQ[sqrt(-679)]$, che immagino sia quella corrispondente ad $A_3$... Ma da dove arriva quel numero?!? Da qui in poi mi viene tutto, c'è solo quel buco... uff
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