Teoria di Galois e campi
Mi sono imbattuto in questo esercizio che mi sta dando parecchi problemi:
"Sia F un campo tale che $ch(F) \ne 2 $ e sia $F \subset K$ un'estensione di Galois finita, con gruppo di Galois associato ciclico e di ordine $4$.
a) Mostrare che $K = F (\beta)$ con $\beta = \sqrt( a + b \sqrt (d))$ dove $a,b,d \in F$ e $d$ non è un quadrato in $F$;
b) Provare che $a^2 - db^2$ non è un quadrato in $F$.
Ora il primo punto penso di averlo svolto e riporto qui il mio ragionamento:
poichè l'estensione $F \subset K$ è un'estensione galoissiana segue che $K$ è campo di spezzamento di un polinomio $f(x) \inF[X]$ separabile e dal fatto che il gruppo di Galois associato all'estensione è ciclico e di ordine 4 segue che tale $f(x)$ ha grado 4 ed è irriducibile e quindi in definitiva che $K = F(\beta)$ con $\beta$ radice del polinomio $f(x)$ e facendo un po' di conti sono riuscito a dimostrare anche la forma di $\beta$ ( mi domando però se ci sia un modo nel quale posso evitarmi i conti).
Per quanto riguarda il secondo punto non ho nessuna idea, qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie.
"Sia F un campo tale che $ch(F) \ne 2 $ e sia $F \subset K$ un'estensione di Galois finita, con gruppo di Galois associato ciclico e di ordine $4$.
a) Mostrare che $K = F (\beta)$ con $\beta = \sqrt( a + b \sqrt (d))$ dove $a,b,d \in F$ e $d$ non è un quadrato in $F$;
b) Provare che $a^2 - db^2$ non è un quadrato in $F$.
Ora il primo punto penso di averlo svolto e riporto qui il mio ragionamento:
poichè l'estensione $F \subset K$ è un'estensione galoissiana segue che $K$ è campo di spezzamento di un polinomio $f(x) \inF[X]$ separabile e dal fatto che il gruppo di Galois associato all'estensione è ciclico e di ordine 4 segue che tale $f(x)$ ha grado 4 ed è irriducibile e quindi in definitiva che $K = F(\beta)$ con $\beta$ radice del polinomio $f(x)$ e facendo un po' di conti sono riuscito a dimostrare anche la forma di $\beta$ ( mi domando però se ci sia un modo nel quale posso evitarmi i conti).
Per quanto riguarda il secondo punto non ho nessuna idea, qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie.
Risposte
Premessa: Se \( K \subset F\) è una estensione di campi e \( [F]=2\) allora \( F=K(\alpha)\) con \( \alpha \notin K\) e \( \alpha^2 \in K\).
Infatti se prendiamo \( \gamma \in F-K\) allora necessariamente \( F=k(\gamma) \). Sia \( f(x)=a+bx+x^2\in K[x]\) il polinomio minimo di \( \gamma \), abbiamo:
\( a+b\gamma+\gamma^2=0\) e completando il quadrato : \( (2\gamma+b)^2=b^2-4c\) osserviamo che essendo la caratteristica diversa da 2 questa uguaglianza non si riduce a \( 0=0\).
Poniamo \( \alpha = 2\gamma+b\), e si vede facilmente che \( F=K(\alpha)\), \( \alpha \notin K\) e \( \alpha^2 \in K\).
Ritornando al problema posto, il gruppo di Galois essendo ciclico di ordine \( 4 \) contiene un sottogruppo di ordine \( 2 \) (unico). Sia E il campo fisso associato a tale sottogruppo, abbiamo:
\( K \subset E \subset F\), \( [F]=4\), \( [F]=[E]=2\) quindi per quanto visto sopra possiamo scrivere:
1) \( E=K(\alpha )\) con \( \alpha^2 \in K\) e \( \alpha \notin K \), oppure più semplicemente ponendo \( \alpha^2 = d \in K\) e \( \alpha = \sqrt{d}\)
\( E=K(\sqrt{d})\) con \( d\) non quadrato in K.
Abbiamo poi:
2) \( F=E(\beta)\) con \( \beta^2 \in E\) e \( \beta \notin E\)
Quindi \( \beta^2\) deve essere combinazione lineare di \( \{ 1,\alpha\}\) a coefficienti in K, cioè \( \beta^2=a+b\sqrt{d}\) con \( a,b \in K\), ovvero \( \beta= \sqrt{a+b\sqrt{d}}\).
Se fosse \( [K(\beta):K]=1\) avremmo \( K(\beta)=K\) e quindi \( \beta \in K\) che non èpossibile;
se fosse \( [K(\beta):K]=2\) avremmo necessariamente \( K(\beta)=E\) in quanto esiste un solo sottocampo intermedio di grado 2 su K (Corispondenza tra sottocampi intermedi e sottogruppi di Galois),cioè \( \beta \in E\) ma anche questo non è possibile. Dunque resta l'ultima possibilità \( [K(\beta):K]=4\), ossia \( K(\beta)=F\).
Passiamo alla seconda parte del problema.
Sia \( \mathcal{G}=\{1,\varphi,\varphi^2,\varphi^3\}\) il gruppo di Galois di \( F_K\), il sottogruppo di ordine 2 è \(\mathcal{H}= \{ 1, \varphi^2\}\). Supponiamo per assurdo che \( a^2-b^2d=f^2\) con \( f \in F\). Poichè \( \varphi \) è un F-automorfismo di K, deve essere:
\( \varphi(f^2)=f^2\)
\( [\varphi(f)]^2=f^2\)
\( [\varphi(f)]^2-f^2=0\)
\( (\varphi(f)-f)(\varphi(f)+f)=0\)
da cui: \( \varphi(f))=f\) oppure \( \varphi(f))=-f\)
Nel primo caso abbiamo :\( \varphi^2(f)=\varphi(\varphi(f))=\varphi(f)=f\)
Nel secondo caso abbiamo: \( \varphi^2(f)=\varphi(\varphi(f))=\varphi(-f)=-\varphi(f)=-(-f)=f\).
In ogni caso risulta: \( \varphi^2(f)=f\) ciò implica che \( f \) appartiene al campo fisso di \( \mathcal{H}\) cioè il sottocampo E.
Dunque \( f \in E=K(\sqrt{d})\), \( f=m+n\sqrt{d}\) con \( m,n \in F\). L'uguaglianza \( a^2-b^2d=f^2\) diventa \( f^2=(m-n\sqrt{d})^2\) da cui si ricava \( \sqrt{d}=\frac{f^2-m^2-n^2}{2mn}\in F\) che è assurdo.
Infatti se prendiamo \( \gamma \in F-K\) allora necessariamente \( F=k(\gamma) \). Sia \( f(x)=a+bx+x^2\in K[x]\) il polinomio minimo di \( \gamma \), abbiamo:
\( a+b\gamma+\gamma^2=0\) e completando il quadrato : \( (2\gamma+b)^2=b^2-4c\) osserviamo che essendo la caratteristica diversa da 2 questa uguaglianza non si riduce a \( 0=0\).
Poniamo \( \alpha = 2\gamma+b\), e si vede facilmente che \( F=K(\alpha)\), \( \alpha \notin K\) e \( \alpha^2 \in K\).
Ritornando al problema posto, il gruppo di Galois essendo ciclico di ordine \( 4 \) contiene un sottogruppo di ordine \( 2 \) (unico). Sia E il campo fisso associato a tale sottogruppo, abbiamo:
\( K \subset E \subset F\), \( [F]=4\), \( [F]=[E]=2\) quindi per quanto visto sopra possiamo scrivere:
1) \( E=K(\alpha )\) con \( \alpha^2 \in K\) e \( \alpha \notin K \), oppure più semplicemente ponendo \( \alpha^2 = d \in K\) e \( \alpha = \sqrt{d}\)
\( E=K(\sqrt{d})\) con \( d\) non quadrato in K.
Abbiamo poi:
2) \( F=E(\beta)\) con \( \beta^2 \in E\) e \( \beta \notin E\)
Quindi \( \beta^2\) deve essere combinazione lineare di \( \{ 1,\alpha\}\) a coefficienti in K, cioè \( \beta^2=a+b\sqrt{d}\) con \( a,b \in K\), ovvero \( \beta= \sqrt{a+b\sqrt{d}}\).
Se fosse \( [K(\beta):K]=1\) avremmo \( K(\beta)=K\) e quindi \( \beta \in K\) che non èpossibile;
se fosse \( [K(\beta):K]=2\) avremmo necessariamente \( K(\beta)=E\) in quanto esiste un solo sottocampo intermedio di grado 2 su K (Corispondenza tra sottocampi intermedi e sottogruppi di Galois),cioè \( \beta \in E\) ma anche questo non è possibile. Dunque resta l'ultima possibilità \( [K(\beta):K]=4\), ossia \( K(\beta)=F\).
Passiamo alla seconda parte del problema.
Sia \( \mathcal{G}=\{1,\varphi,\varphi^2,\varphi^3\}\) il gruppo di Galois di \( F_K\), il sottogruppo di ordine 2 è \(\mathcal{H}= \{ 1, \varphi^2\}\). Supponiamo per assurdo che \( a^2-b^2d=f^2\) con \( f \in F\). Poichè \( \varphi \) è un F-automorfismo di K, deve essere:
\( \varphi(f^2)=f^2\)
\( [\varphi(f)]^2=f^2\)
\( [\varphi(f)]^2-f^2=0\)
\( (\varphi(f)-f)(\varphi(f)+f)=0\)
da cui: \( \varphi(f))=f\) oppure \( \varphi(f))=-f\)
Nel primo caso abbiamo :\( \varphi^2(f)=\varphi(\varphi(f))=\varphi(f)=f\)
Nel secondo caso abbiamo: \( \varphi^2(f)=\varphi(\varphi(f))=\varphi(-f)=-\varphi(f)=-(-f)=f\).
In ogni caso risulta: \( \varphi^2(f)=f\) ciò implica che \( f \) appartiene al campo fisso di \( \mathcal{H}\) cioè il sottocampo E.
Dunque \( f \in E=K(\sqrt{d})\), \( f=m+n\sqrt{d}\) con \( m,n \in F\). L'uguaglianza \( a^2-b^2d=f^2\) diventa \( f^2=(m-n\sqrt{d})^2\) da cui si ricava \( \sqrt{d}=\frac{f^2-m^2-n^2}{2mn}\in F\) che è assurdo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo