Teoria di Galois
Salve,
premetto che sono un autodidatta iscritto alla facolta' di matematica di padova.
Nella materia "Teoria di Galois", mi e' stato indicato dal docente di studiare sulle dispense disponibili in rete di J.Milne "Fields and Galois theory".
Sara' il mio inglese molto scarso, sara' la mia scarsa competenza ma il teorema di pagina 25 (Teorema 3.2) che afferma:
Se E e' un campo di spezzamento per un polinomio monico separabile f appartenente a F[x] allora Aut(E/F) ha ordine [E]
presenta una dimostrazione che non capisco, in partricolare non riesco a convincermi che vi sono [E] distinti F-omomorfismi da E -> E. Qualcuno puo' aiutarmi e/o darmi una dimostrazione "facile" (o indicarmi in quale testo trovarla) del teorema su citato?
ps ho notato (Studiando l'Hernestien e altri libri) che l'impostazione utilizzata da Milne e' diversa da quella "tradizionale" , ci sono per caso delle dispense in rete o dei testi che seguono quella di milne?
Grazie e scusate la marea di richieste
Giuseppe
premetto che sono un autodidatta iscritto alla facolta' di matematica di padova.
Nella materia "Teoria di Galois", mi e' stato indicato dal docente di studiare sulle dispense disponibili in rete di J.Milne "Fields and Galois theory".
Sara' il mio inglese molto scarso, sara' la mia scarsa competenza ma il teorema di pagina 25 (Teorema 3.2) che afferma:
Se E e' un campo di spezzamento per un polinomio monico separabile f appartenente a F[x] allora Aut(E/F) ha ordine [E]
presenta una dimostrazione che non capisco, in partricolare non riesco a convincermi che vi sono [E] distinti F-omomorfismi da E -> E. Qualcuno puo' aiutarmi e/o darmi una dimostrazione "facile" (o indicarmi in quale testo trovarla) del teorema su citato?
ps ho notato (Studiando l'Hernestien e altri libri) che l'impostazione utilizzata da Milne e' diversa da quella "tradizionale" , ci sono per caso delle dispense in rete o dei testi che seguono quella di milne?
Grazie e scusate la marea di richieste
Giuseppe
Risposte
Non esiste una vera e propria impostazione tradizionale... Comunque per quel teorema tieni conto che tiene fisso il campo F allora in particolare fissa $0$ e $sigma(p(x)) = p(sigma(x))$. Quindi dall'equazione $p(sigma(x)) = 0$ ricavi che gli F-omomorfismi mandano radici di $p$ in radici di $p$. Questa è la parte base del teorema. Ora comunque milne rimandava ad un teorema precedente. Quindi probabilmente non hai capito quella dimostrazione
Che $p = prod f_i^m_i$ abbia lo stesso splitting field di $q = prod f_i$ non credo sia problematico. Ora i polinomi irriducibili in uno stesso campo hanno radici distinte (supponiamo la separabilità). Quindi $deg(q) = sum deg(f_i)$ e dato che $f_i$ ha $deg(f_i)$ radici distinte allora $q$ ha $deg(q)$ radici distinte. Il resto è dato dalla PROPOSITION 2.7. a pagina 21, che è probabilmente quella che non hai capito.
Per le dispense in rete non saprei dirti ma esistono sicuramente...
Che $p = prod f_i^m_i$ abbia lo stesso splitting field di $q = prod f_i$ non credo sia problematico. Ora i polinomi irriducibili in uno stesso campo hanno radici distinte (supponiamo la separabilità). Quindi $deg(q) = sum deg(f_i)$ e dato che $f_i$ ha $deg(f_i)$ radici distinte allora $q$ ha $deg(q)$ radici distinte. Il resto è dato dalla PROPOSITION 2.7. a pagina 21, che è probabilmente quella che non hai capito.
Per le dispense in rete non saprei dirti ma esistono sicuramente...
Penso ti sia sufficiente un punto di vista differente. Prova a dare una occhiata a:
http://www.mat.uniroma1.it/people/machi/Galois/
Magari ti può essere d'aiuto.
http://www.mat.uniroma1.it/people/machi/Galois/
Magari ti può essere d'aiuto.
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