Teoria delle Categorie e Universal Algebra
Salve,
sto studiando alcuni argomenti di informatica (semantica) che legano la Teoria delle Categorie e l'Universal Algebra.
Da quanto mi è stato fatto notare in un post dal buon apatriarca, un legame diretto tra queste due matematiche non è definito. Perciò mi è sorto un dubbio.
La parte di universal algebra utilizza strutture algebriche \((D,\sqsubseteq)\) e su di esso definisce dei morfismi per legare vari teoremi e definizioni.
Ora mi chiedo: una struttura algebrica come è definita (es. anche un reticolo) può essere una Categoria?
Se la domanda è chiara (rimanendo ovviamente in termini generali).
Ringrazio
sto studiando alcuni argomenti di informatica (semantica) che legano la Teoria delle Categorie e l'Universal Algebra.
Da quanto mi è stato fatto notare in un post dal buon apatriarca, un legame diretto tra queste due matematiche non è definito. Perciò mi è sorto un dubbio.
La parte di universal algebra utilizza strutture algebriche \((D,\sqsubseteq)\) e su di esso definisce dei morfismi per legare vari teoremi e definizioni.
Ora mi chiedo: una struttura algebrica come è definita (es. anche un reticolo) può essere una Categoria?
Se la domanda è chiara (rimanendo ovviamente in termini generali).
Ringrazio
Risposte
Non so se ho capito molto bene la domanda, perciò provo a darti due risposte. Premetto che di Universal Algebra so veramente poco, anzi, direi quasi nulla.
Se chiedi se è possibile definire una categoria in un cui gli oggetti siano le algebre astratte e le frecce i morfismi fra di essi, direi proprio di sì, ovviamente una volta fissate le operazioni, le arietà e i vari assiomi. Di più non saprei dirti. La struttura di categoria è piuttosto malleabile, non dovrebbero esserci grandi problemi.
Invece se chiedi se una singola struttura algebrica può essere vista come categoria, il discorso è più complicato. Ogni insieme può formare una categoria discreta, in cui gli oggetti sono tutti i suoi elementi ed ogni freccia è l'identità. La composizione fra frecce può dunque essere vista come l'operazione binaria della struttura algebrica definita su quell'insieme. Però questo funziona per strutture con una sola operazione, non so quanto sia fattibile con strutture a più operazioni come anelli o reticoli.
Se chiedi se è possibile definire una categoria in un cui gli oggetti siano le algebre astratte e le frecce i morfismi fra di essi, direi proprio di sì, ovviamente una volta fissate le operazioni, le arietà e i vari assiomi. Di più non saprei dirti. La struttura di categoria è piuttosto malleabile, non dovrebbero esserci grandi problemi.
Invece se chiedi se una singola struttura algebrica può essere vista come categoria, il discorso è più complicato. Ogni insieme può formare una categoria discreta, in cui gli oggetti sono tutti i suoi elementi ed ogni freccia è l'identità. La composizione fra frecce può dunque essere vista come l'operazione binaria della struttura algebrica definita su quell'insieme. Però questo funziona per strutture con una sola operazione, non so quanto sia fattibile con strutture a più operazioni come anelli o reticoli.
"hamming_burst":
Salve,
sto studiando alcuni argomenti di informatica (semantica) che legano la Teoria delle Categorie e l'Universal Algebra.
Da quanto mi è stato fatto notare in un post dal buon apatriarca, un legame diretto tra queste due matematiche non è definito. Perciò mi è sorto un dubbio.
La parte di universal algebra utilizza strutture algebriche \((D,\sqsubseteq)\) e su di esso definisce dei morfismi per legare vari teoremi e definizioni.
Ora mi chiedo: una struttura algebrica come è definita (es. anche un reticolo) può essere una Categoria?
Se la domanda è chiara (rimanendo ovviamente in termini generali).
Ringrazio
Conosci le definizioni di categoria? Se no te le riassumo brevemente e così puoi pensare a rispondere coerentemente alla tua domanda.
Una categoria ha bisogno di alcuni punti base: ovvero ci deve essere un insieme di oggetti ed un insieme di morfismi (o frecce) tra di essi, quali che siano gli oggetti, inoltre deve essere possibile comporre opportunamente tra di loro le frecce ed infine deve essere definita una identità.
Se pensi attentamente, se prendo i reticoli, esiste una categoria che ha come oggetti i reticoli? Sì, banalmente se considero un reticolo come l'insieme semplice dei suoi elementi non considerando la struttura, allora posso prendere delle funzioni qualsiasi che siano componibili ed ottengo una categoria.
Se invece tu richiedi delle categorie un poco più serie, mantenendo i reticoli come oggetti e utilizzando delle funzioni particolari (che ti invito a pensare quali sono) ottengo una categoria che viene chiamata la categoria dei reticoli.
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