[Teoria dei gruppi] Sottogruppo generato

[Richard_Dedekind]

Di certo è una vera banalità, ma non m'è riuscito di dimostrarlo:

Siano \(G\) un gruppo, \(n\in\mathbb{N}\) fissato e \(X=\{g^n\,|\,g\in G\}\). Allora, detto \(N= \langle X \rangle\), \(N\) è normale in \(G\).

Secondo i miei calcoli, mi servirebbe di sapere che \(\forall g\in G\) si ha che \(X^g\subseteq X\). Non escludo, però, che la flemma domenicale mi abbia reso così cieco da non vedere una proprietà ovvia.
Grazie a tutti!

[Martino]

In generale se [tex]X[/tex] è un sottoinsieme di un gruppo [tex]G[/tex] con la proprietà che [tex]X^G=X[/tex] (notazione rapida per significare che [tex]X^g := g^{-1}Xg = X[/tex] per ogni [tex]g \in G[/tex]) allora [tex]\langle X \rangle[/tex] è normale in [tex]G[/tex].

Infatti se [tex]g \in G[/tex] allora [tex]\langle X \rangle^g = \langle X^g \rangle = \langle X \rangle[/tex].

[perplesso1]

Oppure nota che se y è un elemento qualsiasi di G allora $ y^{-1}g^ny=(y^{-1}gy)(y^{-1}gy)...=(y^{-1}gy)^{n} $ e trai le logiche conclusioni

[Richard_Dedekind]

Devo dire che non me n'ero proprio accorto! E dire che è un metodo che uso molto spesso.
Grazie mille a tutti e due, in particoalre a Martino che mi ha confermato la proprietà che avevo intuito (se \(X\) è stabile per coniugio allora lo è anche \( \langle X\rangle \)).