Teoria dei gruppi- my beginning
Inauguro il mio studio di algebra proponendovi un esercizio 
... vediamo se trovate il mio stesso esempio:
Dimostrare che esiste un gruppo $G$ con un suo sottogruppo $H$ (normale ovviamente) t.c. il quoziente $\frac{G}{H}$ è isomorfo a $G$.
... vediamo se trovate il mio stesso esempio:Dimostrare che esiste un gruppo $G$ con un suo sottogruppo $H$ (normale ovviamente) t.c. il quoziente $\frac{G}{H}$ è isomorfo a $G$.
Risposte
$H= <1>$. Giusto?!? Ho indovinato? 
Sia $G$ lo spazio delle funzioni $NN-> ZZ$, dotato di somma componenente per componente (i.e. $f + g:= n\mapsto f(n)+g(n)$). Chiaramente $G$ e' un gruppo e $-f:=n\mapsto -f(n)$.
Sia $H$ l'insieme delle $f$ appartenenti a $G$ tali che $f(n)=0$ se $n$ e' pari.
Consideriamo $G//H$. Abbiamo che
$[f]=[g]$ sse $f-g\in H$ sse $f(n)-g(n)=0$ per ogni $n$ pari sse $f(n)=g(n)$ per ogni $n$ pari.
Ora la funzione $\pi: G//H-> G: [f]\mapsto (n\mapsto f(2n))$ e' l'isomorfismo cercato.
Sia $H$ l'insieme delle $f$ appartenenti a $G$ tali che $f(n)=0$ se $n$ e' pari.
Consideriamo $G//H$. Abbiamo che
$[f]=[g]$ sse $f-g\in H$ sse $f(n)-g(n)=0$ per ogni $n$ pari sse $f(n)=g(n)$ per ogni $n$ pari.
Ora la funzione $\pi: G//H-> G: [f]\mapsto (n\mapsto f(2n))$ e' l'isomorfismo cercato.
"dissonance":
$H= <1>$. Giusto?!? Ho indovinato?
Temo che Thomas auspicasse $H$ sottogruppo proprio di $G$
Bentrovato fields... si intendevo sottogruppo proprio scusate l'imprecisione!.... mi pare che funzioni bene il tuo esempio!...
A me era venuto in mente qualcosa di meno costruttivo.
Come gruppo $G$ prendo le sequenze di numeri reali ${a_i}_{i \in N-{0}}$.con la somma definita componente per componente.
Prendo poi lo shift a sinistra $s: G\rightarrow G, s({a_i})={b_i}$ t.c. $b_i=a_{i+1}$. Questo è un omeomorfismo surgettivo ed inoltre possiede Kernel $H$ non banale.
Grazie al primo teorema di omeomerfismo si ha che $G$ quozientato il Kernel $H$ è isomorfo a G stesso.
A me era venuto in mente qualcosa di meno costruttivo.
Come gruppo $G$ prendo le sequenze di numeri reali ${a_i}_{i \in N-{0}}$.con la somma definita componente per componente.
Prendo poi lo shift a sinistra $s: G\rightarrow G, s({a_i})={b_i}$ t.c. $b_i=a_{i+1}$. Questo è un omeomorfismo surgettivo ed inoltre possiede Kernel $H$ non banale.
Grazie al primo teorema di omeomerfismo si ha che $G$ quozientato il Kernel $H$ è isomorfo a G stesso.
In ogni caso un qualsiasi isomorfismo $f:G rightarrow G$ implica che:
$G/(Kerf) \sim Imf=G$
Dal succitato teorema di isomorfismo di gruppi.
$G/(Kerf) \sim Imf=G$
Dal succitato teorema di isomorfismo di gruppi.
Ben ritrovato a te, Thomas 
Direi comunque che abbiamo avuto sostanzialmente la stessa idea. Una funzione e' una sequenza e se vai a vedere il kernel del tuo omomorfismo... la differenza e' solo nella posizione degli elementi nulli, quindi non e' particolarmente significativa.
Direi comunque che abbiamo avuto sostanzialmente la stessa idea. Una funzione e' una sequenza e se vai a vedere il kernel del tuo omomorfismo... la differenza e' solo nella posizione degli elementi nulli, quindi non e' particolarmente significativa.
"Lord K":
In ogni caso un qualsiasi isomorfismo $f:G rightarrow G$ implica che:
$G/(Kerf) \sim Imf=G$
Dal succitato teorema di isomorfismo di gruppi.
attento... se f è un isomorfismo ha come Kernel il sottogruppo banale composto solo dall'identità ed è troppo facile... devi trovare un omomorfismo (prima ho messo una "e" di troppo
) con Kernel non banale per usare questo...
Verissimo, ma non è molto difficile in realtà
va bè si richiedeva di rispondere all'esercizio non di valutarne la difficoltà... 
Il mio "non difficile" era sulla ricerca di una funzione che avesse nucleo non banale.
"Lord K":
Il mio "non difficile" era sulla ricerca di una funzione che avesse nucleo non banale.
Lo avevamo capito. Tuttavia, un contributo piu' costruttivo - e piu' interessante - sarebbe quello di esibire un omomorfismo suriettivo e con nucleo non banale su un gruppo diverso da quello costruito da Thomas e da me.
$S^1$ cioè l'insieme dei numeri complessi con valore assoluto uguale a $1$ è un gruppo con la moltiplicazione e il suo quoziente con il sottogruppo normale $\{-1, +1\}$ è isomorfo a se stesso. Questo perché la circonferenza è isomorfa alla semicirconferenza con gli estremi identificati.
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