Teoria dei gruppi finiti
1. Sia G un gruppo tale che G/Z(G) è ciclico. Mostrare che G è commutativo
2. Il centro di un p-gruppo non è mai banale
3. Un gruppo di ordine $p^2$ è commutativo
4. Se G è un gruppo di ordine $p^2$ allora o è isomorfo a $ZZ$/$p^2ZZ$ o a $ZZ$/$pZZ$ x $ZZ$/$pZZ$
2. Il centro di un p-gruppo non è mai banale
3. Un gruppo di ordine $p^2$ è commutativo
4. Se G è un gruppo di ordine $p^2$ allora o è isomorfo a $ZZ$/$p^2ZZ$ o a $ZZ$/$pZZ$ x $ZZ$/$pZZ$
Risposte
Sono dimostrazione abbastanza base... Comunque dò qualche aiuto...
1) ogni elemento di G può essere scritto come $g^nZ(G)$, quindi pensa cosa significa moltiplicare due elementi con quella forma, tenendo conto che $Z(G)$ è normale e abeliano.
2) Il centro è il kernel dell'azione di coniugio... leggiti questo per il resto: http://en.wikipedia.org/wiki/Class_equa ... s_equation
3) Puoi usare l'1 e il 2. Nel senso che se $|Z(G)|=p$ allora il quoziente è ciclico e per l'1 il gruppo è abeliano (e per il 2 il centro non è banale). Oppure puoi cercare di calcolare il centralizzante di ogni elemento e calcolare quindi il centro del gruppo.
4) Consideri un elemento non nullo $g$ e il sottogruppo ciclico da lui generato. Se ha ordine $p^2$ hai finito. Supponi quindi sia $p$, dato che per il 3 è abeliano $$ è normale e il quoziente è ciclico. Ora prova a capire come andare avanti...
HINT: cos'é un addendo diretto di un gruppo?
1) ogni elemento di G può essere scritto come $g^nZ(G)$, quindi pensa cosa significa moltiplicare due elementi con quella forma, tenendo conto che $Z(G)$ è normale e abeliano.
2) Il centro è il kernel dell'azione di coniugio... leggiti questo per il resto: http://en.wikipedia.org/wiki/Class_equa ... s_equation
3) Puoi usare l'1 e il 2. Nel senso che se $|Z(G)|=p$ allora il quoziente è ciclico e per l'1 il gruppo è abeliano (e per il 2 il centro non è banale). Oppure puoi cercare di calcolare il centralizzante di ogni elemento e calcolare quindi il centro del gruppo.
4) Consideri un elemento non nullo $g$ e il sottogruppo ciclico da lui generato. Se ha ordine $p^2$ hai finito. Supponi quindi sia $p$, dato che per il 3 è abeliano $
HINT: cos'é un addendo diretto di un gruppo?
grazie, ma mi sono bloccato sul primo punto, gli altri li ho fatti...
mi sapresti dare qualche dettaglio in più sul primo? grazie
mi sapresti dare qualche dettaglio in più sul primo? grazie
Se $G//Z(G)$ è ciclico e $gZ(G)$ un suo generatore allora ogni elemento di $G//Z(G)$ può essere scritto come $(gZ(G)))^n = g^nZ(G)$ per qualche $n$.
Quindi ogni elemento di $G$ può essere scritto come una potenza di $g$ per un elemento di $Z(G)$. Ora dati $z_1, z_2 \in Z(G)$ e $n_1, n_2 in ZZ$ allora $g^(n_1)z_1g^(n_2)z_2 = g^(n_1)g^(n_2)z_1z_2 = g^(n_2)g^(n_1)z_2z_1 = g^(n_2)z_2g^(n_1)z_1$
Quindi ogni elemento di $G$ può essere scritto come una potenza di $g$ per un elemento di $Z(G)$. Ora dati $z_1, z_2 \in Z(G)$ e $n_1, n_2 in ZZ$ allora $g^(n_1)z_1g^(n_2)z_2 = g^(n_1)g^(n_2)z_1z_2 = g^(n_2)g^(n_1)z_2z_1 = g^(n_2)z_2g^(n_1)z_1$
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