Teoria dei Gruppi: banalissima curiosità
Gentili appassionati,
sono iscritto al primo anno del CDL in Matematica e sono ai primissimi approcci con la Teoria dei Gruppi, quindi vi chiedo in anticipo scusa per la banalità della questione.
In breve, quello che mi interessa è questo: sappiamo che esistono gruppi finiti e gruppi infiniti; sappiamo anche che, dati due elementi qualsiasi del gruppo, il gruppo contiene necessariamente la composizione tra i due elementi. Stanti queste premesse, è impossibile pensare ad un gruppo il cui sostegno sia un insieme numerico (escluso il singleton dell'unità) e la cui operazione sia, ad esempio, la moltiplicazione ordinaria. Infatti, in questo caso, dati due elementi qualsiasi, il loro prodotto mi darebbe un altro numero maggiore di entrambi: questo sarebbe, a sua volta, un elemento del gruppo. E' chiaro, però, che posso moltiplicare per se stesso questo nuovo numero ottenuto, ottenendo un altro numero, maggiore del precedente, e ancora appartenente al gruppo. Si evince che è possibile reiterare questo procedimento all'infinito e quindi non c'è limite al numero di elementi.
E' un ragionamento corretto?
sono iscritto al primo anno del CDL in Matematica e sono ai primissimi approcci con la Teoria dei Gruppi, quindi vi chiedo in anticipo scusa per la banalità della questione.
In breve, quello che mi interessa è questo: sappiamo che esistono gruppi finiti e gruppi infiniti; sappiamo anche che, dati due elementi qualsiasi del gruppo, il gruppo contiene necessariamente la composizione tra i due elementi. Stanti queste premesse, è impossibile pensare ad un gruppo il cui sostegno sia un insieme numerico (escluso il singleton dell'unità) e la cui operazione sia, ad esempio, la moltiplicazione ordinaria. Infatti, in questo caso, dati due elementi qualsiasi, il loro prodotto mi darebbe un altro numero maggiore di entrambi: questo sarebbe, a sua volta, un elemento del gruppo. E' chiaro, però, che posso moltiplicare per se stesso questo nuovo numero ottenuto, ottenendo un altro numero, maggiore del precedente, e ancora appartenente al gruppo. Si evince che è possibile reiterare questo procedimento all'infinito e quindi non c'è limite al numero di elementi.
E' un ragionamento corretto?
Risposte
cerco di formalizzare ciò che intendi:
Sia [tex]$A$[/tex] un insieme numerico in cui non c'è il numero [tex]$1$[/tex] e sia [tex]$\cdot$[/tex] la solita moltiplicazione.
Allora [tex]$(A,\cdot)$[/tex] non può mai essere un gruppo.
che è vero, ma non perchè [tex]$A$[/tex] potrebbe essere infinito (caso accettabile) ma perchè hai tolto [tex]$1$[/tex] che invece deve appartenere per forza.
Non ho capito cosa vuoi dire.
Tu sostieni che siccome ci sono infiniti elementi non può essere un gruppo?
Ultima nota, che semmai riprendo dopo: dipende da cosa intendi per numero, perchè in alcuni casi ciò che dici non è vero.
Prima chiarisci il tuo concetto: pensi che un insieme con infiiniti elementi non possa essere un gruppo?
Sia [tex]$A$[/tex] un insieme numerico in cui non c'è il numero [tex]$1$[/tex] e sia [tex]$\cdot$[/tex] la solita moltiplicazione.
Allora [tex]$(A,\cdot)$[/tex] non può mai essere un gruppo.
che è vero, ma non perchè [tex]$A$[/tex] potrebbe essere infinito (caso accettabile) ma perchè hai tolto [tex]$1$[/tex] che invece deve appartenere per forza.
Non ho capito cosa vuoi dire.
Tu sostieni che siccome ci sono infiniti elementi non può essere un gruppo?
Ultima nota, che semmai riprendo dopo: dipende da cosa intendi per numero, perchè in alcuni casi ciò che dici non è vero.
Prima chiarisci il tuo concetto: pensi che un insieme con infiiniti elementi non possa essere un gruppo?
Sono stato molto confuso, ti chiedo scusa.
Si può dire che in ultima analisi, la mia questione possa riassumersi con: un gruppo è finito (infinito) se il suo sostegno è un insieme finito (infinito)? E, nel caso fosse finito, l'ordine del gruppo coincide con l'ordine del sostegno?
Si può dire che in ultima analisi, la mia questione possa riassumersi con: un gruppo è finito (infinito) se il suo sostegno è un insieme finito (infinito)? E, nel caso fosse finito, l'ordine del gruppo coincide con l'ordine del sostegno?
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