Teoria dei gruppi
Ciao a tutti,avrei qualche dubbio su i seguenti due esercizi,spero che qualcuno possa aiutarmi a chiarirli...
1)Nell'insieme $ G={(a,b)in QQxQQ|(a,b)!=(0,0)} $ si consideri l'operazione $(r,s)*(u,v)=(ru-2sv,rv+su) $
Determinare gli elementi $(a,b) in G $ di ordine finito tali che $ a,b in ZZ $
2) Dire se è vera o falsa la seguente affermazione: Siano $ X $ un insieme finito e $ G $ un gruppo finito che agisce transitivamente su X. Allora deve essere $ |X|leq |G| $
Allora io nel punto 1) ho trovato che hanno periodo finito gli elementi $ (1,0) $ e $ (-1,0) $ ... ce ne sono altri?
Per il punto 2) a me viene da pensare che l'affermazione sia falsa,giusto? Perchè se ad esempio prendo $ X={1,2,3,4,5,6,7} $ e $ G= S_3 $ (gruppo permutazioni di 3 elementi) e definisco un'azione nel modo seguente:
$ S_3 x X x X x X -> X x X x X$
$ (pi, (x_1,x_2,x_3)->(pi(x_1),pi(x_2),pi(x_3)) $
è ben definita,giusto?
Grazie mille in anticipo a tutti!
1)Nell'insieme $ G={(a,b)in QQxQQ|(a,b)!=(0,0)} $ si consideri l'operazione $(r,s)*(u,v)=(ru-2sv,rv+su) $
Determinare gli elementi $(a,b) in G $ di ordine finito tali che $ a,b in ZZ $
2) Dire se è vera o falsa la seguente affermazione: Siano $ X $ un insieme finito e $ G $ un gruppo finito che agisce transitivamente su X. Allora deve essere $ |X|leq |G| $
Allora io nel punto 1) ho trovato che hanno periodo finito gli elementi $ (1,0) $ e $ (-1,0) $ ... ce ne sono altri?
Per il punto 2) a me viene da pensare che l'affermazione sia falsa,giusto? Perchè se ad esempio prendo $ X={1,2,3,4,5,6,7} $ e $ G= S_3 $ (gruppo permutazioni di 3 elementi) e definisco un'azione nel modo seguente:
$ S_3 x X x X x X -> X x X x X$
$ (pi, (x_1,x_2,x_3)->(pi(x_1),pi(x_2),pi(x_3)) $
è ben definita,giusto?
Grazie mille in anticipo a tutti!
Risposte
Nessuno? 
1) Dalla formula per la composizione segue che l'applicazione $G \rightarrow\Q(\sqrt{-2})^\times$
che manda una coppia $(u,v)$ nel numero complesso $u + v\sqrt{-2}$, e' un
isomorfismo di gruppi. Gli elementi di ordine finito in $G$ corrispondono alle radici
dell'unita' del campo di numeri $\Q(\sqrt{-2})$.
Le radici dell'unita' sono interi algebrici ed appartengono quindi all'anello
degli interi $Z[\sqrt{-2}]$. Il loro valore assoluto e' $1$. Va quindi risolta
l'equazione $u^2 + 2v^2 = 1$ negli interi $u,v\in\Z$.
Le uniche soluzioni sono quelle che avevi gia' trovate: $u=\pm 1$ e $v=0$.
2) Sia $x\in X$. Allora l'applicazione $f:G\rightarrow X$ data da $f(g)=g(x)$ e'
suriettiva.
che manda una coppia $(u,v)$ nel numero complesso $u + v\sqrt{-2}$, e' un
isomorfismo di gruppi. Gli elementi di ordine finito in $G$ corrispondono alle radici
dell'unita' del campo di numeri $\Q(\sqrt{-2})$.
Le radici dell'unita' sono interi algebrici ed appartengono quindi all'anello
degli interi $Z[\sqrt{-2}]$. Il loro valore assoluto e' $1$. Va quindi risolta
l'equazione $u^2 + 2v^2 = 1$ negli interi $u,v\in\Z$.
Le uniche soluzioni sono quelle che avevi gia' trovate: $u=\pm 1$ e $v=0$.
2) Sia $x\in X$. Allora l'applicazione $f:G\rightarrow X$ data da $f(g)=g(x)$ e'
suriettiva.
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