Teoria dei gruppi

[margalidaska]

Salve, ho una domanda, come faccio a sapere se un gruppo di ordine 1152 che ha un sottogruppo di ordine 192, allora quest'ultimo è normale?
mi spiego meglio sto studiando il gruppo di weyl dell'algebra f4 (il quale ha 1152 elementi) per capirne un po più la struttura ho cercato su diversi testi su uno di questi da una spiegazione abbastanza chiara con metodi semplici, l'unico passaggio che non riesco a capire bene è erchè si asserisca che un dato sottogruppo è normale. In pratica, il sg H di ordine 192 è normale in W (di ordine 1152) perchè questo è sempre vero, per qulche informazione di teoria dei gruppi, oppure devo cercare una altra strada?
Grazie mille

[vict85]

Non penso che un sottogruppo di ordine 192 sia sempre normale in un gruppo di ordine 1152. Probabilmente è legato a qualche considerazione geometrica. Come è definito quel sottogruppo?

[margalidaska]

IL gruppo di weyl di f4 è generato dalle riflessioni Pa al variare di a nel sistema di radici f, si dimostra poi che basta prendere solo le radici semplici, se prendo un sotto insieme di f, chiamiamolo f' questo risulta essere il sistema di generatori, di un altro gruppo di radici quello di c4, dunque sicuramente questo è un gruppo, su un testo (l'hunphrey, coxeter and reflection groups) fa esattamente quetsa costruzione, dicendo poi che questo sottogruppo è normale, da qui la mia domanda, non so se cono stata chiara

[Studente Anonimo]

Probabilmente il motivo è che gli elementi nel tuo sottoinsieme f' sono coniugati. In generale se hai un sottoinsieme [tex]X[/tex] di un gruppo [tex]G[/tex] tale che per ogni [tex]x \in X[/tex], [tex]g \in G[/tex] si ha [tex]g^{-1}xg \in X[/tex] allora [tex]\langle X \rangle[/tex], il sottogruppo di [tex]G[/tex] generato da [tex]X[/tex], è normale in [tex]G[/tex]. L'elemento [tex]g^{-1}xg[/tex] si dice il "coniugato di [tex]x[/tex] tramite [tex]g[/tex]".

[margalidaska]

Ummm ho perso un po' di tempo e in realtà non si potevano trarre conclusioni a priori sull'ordine bisognava analizzare il gruppo specificatmente. grazie mile