Teoria degli insiemi - Esercizi 1.1.9 e 1.1.10

[Archimede11]

Ecco altri due esercizi a cui cercherò di dar dimostrazione:

1.1.9
Siano $S$, $T$ e $V$ insiemi. Provare che risulta
$(S \setminus T) \setminus V = S \setminus (T \setminus V) \Leftrightarrow S \cap V = \emptyset$.

1.1.10
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$, $T$ e $V$, risulta:
$S \setminus (T \setminus V) = (S \setminus T) \cup (S \cap V)$.
In particolare, se $X$ e $Y$ sono sottoinsiemi di un insieme $S$, si ha
$S \setminus (X \setminus Y) = (S \setminus X) \cup Y$.

A presto

[Archimede11]

Tentiamo di risolver la 1.1.9

1.1.9
Siano $S$, $T$ e $V$ insiemi. Provare che risulta
$(S \setminus T) \setminus V = S \setminus (T \setminus V) \Leftrightarrow S \cap V = \emptyset$.

$\Rightarrow$
Riscriviamo $(S \setminus T) \setminus V = S \setminus (T \setminus V)$ come $S \setminus V = S$ poichè $S \setminus T \subseteq S$ e che $S \setminus (T \setminus V) \subseteq S$.
L'ipotesi possiamo riscriverla così dato che $S \cap V = \emptyset \Leftrightarrow S \setminus V = S$.
Quindi l'ipotesi dimostra la tesi.

$\Leftarrow$
Si dimostra analogamente al passo precedente.

Cosa ne pensate? Sono sbagliate queste mie supposizioni? Grazie.

[manuelaoro]

non mi è chiara la dimostrazione.....

[Archimede11]

Risolviamo la 1.1.10

1.1.10
Provare che, qualunque siano gli insiemi $S$, $T$ e $V$, risulta:
$S \setminus (T \setminus V) = (S \setminus T) \cup (S \cap V)$.

$\subseteq$ : $S \setminus (T \setminus V) \subseteq (S \setminus T) \cup (S \cap V)$
Sia $x \in S \setminus (T \setminus V) \Rightarrow x \in S$ e $x \notin T \setminus V \Rightarrow x \in S$ e $x \notin T$ o $x \in V \Rightarrow$ abbiamo due casi:
1) $x \notin T \Rightarrow x \in S \setminus T \Rightarrow x \in (S \setminus T) \cup (S \cap V)$
2) $x \in V \Rightarrow x \in S$ e $x \in V \Rightarrow x \in S \cap V \Rightarrow x \in (S \setminus T) \cup (S \cap V)$
Entrambi i casi portano allo stesso risultato che dimostra l'inclusione.

$\supseteq$
(S \setminus T) \cup (S \cap V) \subseteq S \setminus (T \setminus V)$
Sia $x \in (S \setminus T) \cup (S \cap V) \Rightarrow x \in (S \setminus T)$ o $x \in S \cap V \Rightarrow$ abbiamo due casi:
1) $x \in S \setminus T \Rightarrow x \in S$ e $x \notin T \Rightarrow x \in S$ e $x \notin T \setminus V \Rightarrow x \in S \setminus (T \setminus V)$.
2) $x \in S \cap V \Rightarrow x \in S$ e $x \in V \Rightarrow x \in S$ e $x \notin T \setminus V \Rightarrow x \in S \setminus (T \setminus V)$.

Anche in questo caso i due casi portano allo stesso risultato che dimostra l'inclusione.

Entrambe le inclusioni sono verificate per cui si è dimostrata l'uguaglianza.

Ringrazio chiunque voglia apportare delle correzioni (se necessitano).

[Archimede11]

"goldengirl":non mi è chiara la dimostrazione.....

Quale parte non ti è chiara?
Ho riscritto $(S \setminus T) \setminus V = S \setminus (T \setminus V)$.
Poichè da $(S \setminus T) \setminus V$ posso dire che $S \setminus T \subseteq S$ per cui resta $S \setminus V$.
Da $S \setminus (T \setminus V)$ posso dire che poichè $S \setminus (T \setminus V) \subseteq S$ allora posso cambiare in $S$.
Componendo viene $S \setminus V = S$ e posso usarla per dimostrare la tesi dato che questa uguaglianza per ipotesi è vera.