Teoria degli insiemi

[bestiedda2]

se voglio dimostrare che A è incluso in B , posso dimostrare equivalentemente che se x non appartiene a B allora non appartiene ad A?

[j18eos]

[Cancellato.]

EDIT: Non mi è chiara la domanda; forse è: [tex]$A\subset B$[/tex] equivale a [tex]$x\not\in B\Rightarrow x\not\in A$[/tex]?

[ladepie]

Allora ragioniamo...

$A \subset B$ è equivalente al dire $x \in A \rightarrow x \in B$ quindi negando l'implicazione si ottiene $x \notin B \rightarrow x \notin A$

questo vale sempre...anche per i teoremi...
"Se A allora B" io lo posso dimostrare anche facendo "Se non B implica non A"

[bestiedda2]

....dunque lo posso fare?

Eos, se non sbaglio quella proprietà deve valere per OGNI [tex]x \notin B[/tex], non per qualcuno...Del resto,[tex]x \notin B \leftrightarrow x \in C(B)[/tex] e [tex]x \notin A \leftrightarrow x \in C(A)[/tex], per cui [tex]x \notin B \rightarrow x \notin A[/tex] è equivalente a dire [tex]C(B) \subset C(A)[/tex] e quindi [tex]A \subset B[/tex]

[j18eos]

@besteddia2 T'ha risposto correttamente ladepie; attenzione a quando parli del complementare di un insieme in quanto non hai specificato rispetto a chi complementi!

[ladepie]

[bestiedda2]

l'esercizio era dimostrare che in una qualsiasi topologia la frontiera dell'unione di due insiemi era contenuta nell'unione delle due frontiere! E l'ho dimostrato appunto facendo vedere che se x non appartiene a nessuna delle due frontiere allora non può appartenere alla frontiera dell'unione dei due insiemi!