Teoria assiomatica degli insiemi
Sto cercando di studiare gli aspetti basilari della teoria assiomatica degli insiemi, nello specifico gli assiomi di ZF, ma ho diverse difficoltà in proposito.
1) L'assioma di estensionalità dice che $\forall x\forall y[x=y\leftrightarrow\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)]$; l'assioma dell'esistenza dell'insieme vuoto afferma invece che $\exists x\forall y(y\notin x)$; a partire da questi soli due assiomi come si fa a dimostrare che l'insieme vuoto è unico?
2) E' possibile riscrivere l'assioma di estensionalità evitando di utilizzare il predicato di uguaglianza? Qui (http://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2 ... The_axioms) c'è scritto che l'espressione $x=y$ può essere considerata come un'abbreviazione della formula $\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\wedge\forall z(x\in z\leftrightarrow y\in z)$, che sostanzialmente dice che $x=y$ se e soltanto se $x$ e $y$ contengono gli stessi elementi e fanno parte dei medesimi insiemi. Mi chiedo: è proprio necessaria la seconda parte (e cioè che $\forall z(x\in z\leftrightarrow y\in z)$)? Non basta scrivere che $\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)$?
3) Cosa si intende esattamente con $\bigcup x$? ad esempio cosa si intende per $\bigcup {a,b}$?
Grazie.
1) L'assioma di estensionalità dice che $\forall x\forall y[x=y\leftrightarrow\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)]$; l'assioma dell'esistenza dell'insieme vuoto afferma invece che $\exists x\forall y(y\notin x)$; a partire da questi soli due assiomi come si fa a dimostrare che l'insieme vuoto è unico?
2) E' possibile riscrivere l'assioma di estensionalità evitando di utilizzare il predicato di uguaglianza? Qui (http://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2 ... The_axioms) c'è scritto che l'espressione $x=y$ può essere considerata come un'abbreviazione della formula $\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\wedge\forall z(x\in z\leftrightarrow y\in z)$, che sostanzialmente dice che $x=y$ se e soltanto se $x$ e $y$ contengono gli stessi elementi e fanno parte dei medesimi insiemi. Mi chiedo: è proprio necessaria la seconda parte (e cioè che $\forall z(x\in z\leftrightarrow y\in z)$)? Non basta scrivere che $\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)$?
3) Cosa si intende esattamente con $\bigcup x$? ad esempio cosa si intende per $\bigcup {a,b}$?
Grazie.
Risposte
Scusami, posso chiederti quale testo ti fornisce questa definizione e distinzione tra coppia e n-upla ordinata?
Nessuno... è una mia invenzione... 
Però ho tra le mani K. Hrbacek, T. Jech - Introduction to Set Theory: Third Edition, Revised and Expanded, che definisce invece i seguenti concetti:
- $(a,b)={{a},{a,b}}$ (ordered pair, p. 17)
- $$ (sequence, p. 46)
- $(a_0,\ldots,a_{n-1})$ ($n$-tuple, p. 56)
dove:
- una sequence di lunghezza $n$ è una funzione il cui dominio è un $n\in\mathbb{N}$
- una $n$-tuple è una sequence di lunghezza $n$
Però ho tra le mani K. Hrbacek, T. Jech - Introduction to Set Theory: Third Edition, Revised and Expanded, che definisce invece i seguenti concetti:
- $(a,b)={{a},{a,b}}$ (ordered pair, p. 17)
- $
- $(a_0,\ldots,a_{n-1})$ ($n$-tuple, p. 56)
dove:
- una sequence di lunghezza $n$ è una funzione il cui dominio è un $n\in\mathbb{N}$
- una $n$-tuple è una sequence di lunghezza $n$
il problema con il loro approccio, come essi stessi dicono a pagina 57, è che $(a_0,a_1)\ne$ in quanto ${{a_0},{a_0,a_1}}\ne{(0,a_0),(1,a_1)}$, ed è per questo che sto cercando di inventare una mia soluzione al problema.
Attenzione: l'Harbacek-Jech fa quello che è stato fatto nel topic che ti ho lincato nel mio terzo post in questa discussione.
Si fornisce la seguente definizione: $(a,b):={{a},{a,b}}$.
Si dice funzione da $A$ in $B$ una relazione tra $A$ e $B$, i.e. una parte $F subseteq A times B$, tale che $forall a in A, exists ! b in B : (a,b) in F$. Per brevità si scrive $b=F(a)$, ma essendo una funzione una relazione la notazione più completa è ${(a,b),(a',b'),ldots}$.
Se una funzione ha dominio $NN$ o una sua parte finita la chiamiamo sequence: noi italiani diciamo successione nel caso di dominio $NN$ e seuqenza (finita) nel caso di parte finita. Noi usiamo una particolare notazione, i.e. ${a_i}_{i in NN}$, l'Harbachek-Jech usa la notazione $(:a_1, a_2, ldots, a_n, ldots:)$. Ma poiché questa è una funzione, allora in ragione della completezza di notazione, si ha $(:a_1, a_2, ldots, a_n, ldots:)={(1,a_1),(2,a_2),ldots,(n,a_n),ldots}$. Nel caso di $n=2$ risulta $(:a_1,a_2:)={(1,a_1),(2,a_2)}$, quindi hai un insieme con elementi due coppie ordinate, mente la coppia ordinata $(a_1,a_2)$ è l'insieme ${(a_1},{a_1,a_2}}$: ergo $(:a_1,a_2:)!=(a_1,a_2)$.
Il problema ora qual è? Il problema consiste nel fatto che la coppia ordinata nasce dall'idea di avere un oggetto matematico nel quale sia importante l'ordine formale con cui viene scritto l'oggetto: i.e. vogliamo che l'oggetto coppia ordinata $(a,b)$ sia diverso dall'oggetto coppia ordinata $(b,a)$, questo fatto noi lo esprimiamo intuitivamente dicendo che $a$ è scritto prima o dopo di $b$ e questo fa la differenza ma formalmente questo si traduce nella condizione $(a,b)=(a',b') <=> a=a' \wedge b=b'$. Il problema qual è? Il problema è che, per definizione di funzione, $(:a_1,a_2,ldots,a_n,ldots:)=(:b_1,b_2,ldots,b_n,ldots:)<=>a_i=b_i, forall i$, i.e. abbiamo che l'oggetto sequence verifica la medesima proprietà dell'oggetto coppia o, più in generale, dopo avere posto ricorsivamente $a_1,a_2,ldots,a_n)=((a_1,a_2,ldots,a_(n-1)),a_n)$, dall'oggetto n-upla ordinata.
Poiché la definizione di prodotto cartesiano si fornda sulla proprietà verificata dalla coppia o n-upla ordinata, abbiamo la possibilità di definire il prodotto medesimo in due modi e non solo: poiché la sequence verifica la proprietà della n-upla, possiamo anche definire quest'ultima come una applicazione $f$ di $A subseteq NN$ in un insieme $B$ con $A$ finito (ovviamente una applicazione che renda l'idea del fatto che se $x_1,x_2 in A$ sono tali che $x_1
Soluzione: mostriamo che data una sequenza finita possiamo scrivere una n-upla e viceversa, quindi identifichiamo cper biezione i cartesiani definiti con la sequenza e quelli definiti con la n-upla.
Si fornisce la seguente definizione: $(a,b):={{a},{a,b}}$.
Si dice funzione da $A$ in $B$ una relazione tra $A$ e $B$, i.e. una parte $F subseteq A times B$, tale che $forall a in A, exists ! b in B : (a,b) in F$. Per brevità si scrive $b=F(a)$, ma essendo una funzione una relazione la notazione più completa è ${(a,b),(a',b'),ldots}$.
Se una funzione ha dominio $NN$ o una sua parte finita la chiamiamo sequence: noi italiani diciamo successione nel caso di dominio $NN$ e seuqenza (finita) nel caso di parte finita. Noi usiamo una particolare notazione, i.e. ${a_i}_{i in NN}$, l'Harbachek-Jech usa la notazione $(:a_1, a_2, ldots, a_n, ldots:)$. Ma poiché questa è una funzione, allora in ragione della completezza di notazione, si ha $(:a_1, a_2, ldots, a_n, ldots:)={(1,a_1),(2,a_2),ldots,(n,a_n),ldots}$. Nel caso di $n=2$ risulta $(:a_1,a_2:)={(1,a_1),(2,a_2)}$, quindi hai un insieme con elementi due coppie ordinate, mente la coppia ordinata $(a_1,a_2)$ è l'insieme ${(a_1},{a_1,a_2}}$: ergo $(:a_1,a_2:)!=(a_1,a_2)$.
Il problema ora qual è? Il problema consiste nel fatto che la coppia ordinata nasce dall'idea di avere un oggetto matematico nel quale sia importante l'ordine formale con cui viene scritto l'oggetto: i.e. vogliamo che l'oggetto coppia ordinata $(a,b)$ sia diverso dall'oggetto coppia ordinata $(b,a)$, questo fatto noi lo esprimiamo intuitivamente dicendo che $a$ è scritto prima o dopo di $b$ e questo fa la differenza ma formalmente questo si traduce nella condizione $(a,b)=(a',b') <=> a=a' \wedge b=b'$. Il problema qual è? Il problema è che, per definizione di funzione, $(:a_1,a_2,ldots,a_n,ldots:)=(:b_1,b_2,ldots,b_n,ldots:)<=>a_i=b_i, forall i$, i.e. abbiamo che l'oggetto sequence verifica la medesima proprietà dell'oggetto coppia o, più in generale, dopo avere posto ricorsivamente $a_1,a_2,ldots,a_n)=((a_1,a_2,ldots,a_(n-1)),a_n)$, dall'oggetto n-upla ordinata.
Poiché la definizione di prodotto cartesiano si fornda sulla proprietà verificata dalla coppia o n-upla ordinata, abbiamo la possibilità di definire il prodotto medesimo in due modi e non solo: poiché la sequence verifica la proprietà della n-upla, possiamo anche definire quest'ultima come una applicazione $f$ di $A subseteq NN$ in un insieme $B$ con $A$ finito (ovviamente una applicazione che renda l'idea del fatto che se $x_1,x_2 in A$ sono tali che $x_1
Soluzione: mostriamo che data una sequenza finita possiamo scrivere una n-upla e viceversa, quindi identifichiamo cper biezione i cartesiani definiti con la sequenza e quelli definiti con la n-upla.
Stamattina ho provato ad andare avanti sulla base della mia definizione, e ho raggiunto le seguenti conclusioni per ora.
Indico con $X\otimes Y$ l'insieme ${z\in P_{P_{(X\cup Y)}}:\exists x\exists y(x\in X\wedge y\in Y\wedge z=)}$. Notare il simbolo $\otimes$ al posto di $\times$, in quanto voglio indicare un insieme costituito da coppie ordinate dalla forma $$, e non da 2-uple dalla forma $(x,y)$.
A questo punto noto che $\prod_{i\in I}A_i\subseteq P_{N_n\otimes\bigcup F}$, dove $F$ è la famiglia di insiemi di cui si vuole ottenere il prodotto.
Non riesco però a formulare una proprietà per $\prod_{i\in I}A_i$ che lo differenzi da $P_{N_n\otimes\bigcup F}$... devo ancora lavorarci su.
Indico con $X\otimes Y$ l'insieme ${z\in P_{P_{(X\cup Y)}}:\exists x\exists y(x\in X\wedge y\in Y\wedge z=
A questo punto noto che $\prod_{i\in I}A_i\subseteq P_{N_n\otimes\bigcup F}$, dove $F$ è la famiglia di insiemi di cui si vuole ottenere il prodotto.
Non riesco però a formulare una proprietà per $\prod_{i\in I}A_i$ che lo differenzi da $P_{N_n\otimes\bigcup F}$... devo ancora lavorarci su.
cioè intuitivamente $\prod_{i\in I}A_i={x\in P_{N_n\otimes\bigcup F}:x=(a_1,\ldots,a_n)}$, ma questa è una scrittura troppo approssimativa per poterla accettare.
Mi sono accorto che, a differenza di $\bigcup_{i\in I}A_i$ oppure $\bigcap_{i\in I}A_I$, non ha molto senso voler definire $\prod_{i\in I}A_i$ in quanto l'ordine dei fattori, nel caso del prodotto cartesiano, è importante.
Ragion per cui ho ripiegato sulla definizione di $\prod_{i=1}^n A_i$, giungendo alla conclusione che $\prod_{i=1}^n A_i={x\in P_{N_n\otimes\bigcup F}:\forall i\in N_n:\exists !a_i\in A_i:\in x}$.
Cosa ne pensate?
Ragion per cui ho ripiegato sulla definizione di $\prod_{i=1}^n A_i$, giungendo alla conclusione che $\prod_{i=1}^n A_i={x\in P_{N_n\otimes\bigcup F}:\forall i\in N_n:\exists !a_i\in A_i:
Cosa ne pensate?
"qxtr01":
Stamattina ho provato ad andare avanti sulla base della mia definizione, e ho raggiunto le seguenti conclusioni per ora.
Io credo che dovresti fermarti un attimino e tornare sui tuoi passi.
Con la strada che hai preso la vedo molto dura arrivare da qualche parte.
A mio avviso stai mischiando i concetti: le coppie ordinate sono le 2-tuplet o 2-uple, e le 2-uple o 2-tuplet sono le coppie ordinate. L'oggetto $(:a_0, a_1, ldots, a_(n-1)rangle$ è una squenza finita, i.e. un'applicazione di $ccI_n:={0,1,ldots,n-1}$ in un insieme $A$ che contiene i vari $a_i$.
Secondo la tua impostazione invece le coppie ordinate sono coppie ordinate e le n-uple diventano delle applicazioni per ogni $n$, quindi anche per $n=2$ il che è formalmente sbagliato, perché le 2-uple che sono le coppie ordinate servono per definire il concetto di applicazioni e tu usi l'applicazione per definire il concetto di coppia.
E poi cos'è $P_(P_(X cup Y))$?
Secondo la mia strategia c'è una netta differenza tra coppie ordinate del tipo $$ e le n-uple del tipo $(a_1, \ldots, a_n)$ (e quindi in particolare tra coppie ordinate e 2-uple). Tra i due concetti il più "essenziale" è quello di coppia ordinata, a partire dal quale costruisco le n-uple. Ad esempio se ho le coppie ordinate $<1, a>$, $<2, b>$, $<3, c>$ posso costruire l'insieme ${<1, a>, <2, b>, <3, c>}$ che diventa la 3-upla $(a, b, c)$. Cosa a cui prestare attenzione è che per me le n-uple non sono applicazioni! Ad esempio sarebbe un'applicazione l'insieme ${(1, a), (2, b), (3, c)}$ (notare le parentesi rotonde), ma non ${<1, a>, <2, b>, <3, c>}$ (notare le parentesi angolari).
Supponiamo di voler costruire una semplice funzione che ad ogni elemento del dominio ${0, 1, 2}$ associa il quadrato.
Quindi $f:{0,1,2}\rightarrow{0,1,4}$ tale che $0\mapsto 0$, $1\mapsto 1$, $2\mapsto 4$. Dal punto di vista insiemistico $f={(0, 0), (1, 1), (2, 4)}$ ($f$ è un insieme di 2-uple). Potrei riscrivere $f$ in modo più esteso come $f={{<1, 0>, <2, 0>}, {<1, 1>, <2, 1>}, {<1, 2>, <2, 4>}}$ ($f$ è l'insieme di insiemi di coppie ordinate).
Per riassumere le coppie ordinate servono per definire le n-uple, e le n-uple servono per definire le relazioni (e quindi anche le funzioni). Non c'è nulla di circolare in questo.
Per quanto riguarda $P_{P_{X\cup Y}}$, questo è l'insieme potenza dell'insieme potenza di $X\cup Y$.
Spero di averti chiarito meglio il mio punto di vista...
Supponiamo di voler costruire una semplice funzione che ad ogni elemento del dominio ${0, 1, 2}$ associa il quadrato.
Quindi $f:{0,1,2}\rightarrow{0,1,4}$ tale che $0\mapsto 0$, $1\mapsto 1$, $2\mapsto 4$. Dal punto di vista insiemistico $f={(0, 0), (1, 1), (2, 4)}$ ($f$ è un insieme di 2-uple). Potrei riscrivere $f$ in modo più esteso come $f={{<1, 0>, <2, 0>}, {<1, 1>, <2, 1>}, {<1, 2>, <2, 4>}}$ ($f$ è l'insieme di insiemi di coppie ordinate).
Per riassumere le coppie ordinate servono per definire le n-uple, e le n-uple servono per definire le relazioni (e quindi anche le funzioni). Non c'è nulla di circolare in questo.
Per quanto riguarda $P_{P_{X\cup Y}}$, questo è l'insieme potenza dell'insieme potenza di $X\cup Y$.
Spero di averti chiarito meglio il mio punto di vista...
"qxtr01":
Per riassumere le coppie ordinate servono per definire le n-uple, e le n-uple servono per definire le relazioni (e quindi anche le funzioni). Non c'è nulla di circolare in questo.
Ma il punto è che in ZF il prodotto cartesiano è definito come parte di $wp(wp(A cup B))$ sicché i suoi elementi sono coppie ed essendo le funzioni delle parti di prodotto cartesiano devi usare le coppie per definirle.
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