Teoria algebrica dei numeri. Unità in $ZZ[alpha]$
Ho bisogno (sto impazzendo) di un modo ragionevole (ammesso che esista) per calcolare gli elementi invertibili in un anello del tipo $ZZ[alpha]$ con $alpha$ radice di un polinomio di terzo grado con una radice reale e due complesse quindi so che $ZZ[alpha]^*={\pm1}xxZZ$
ho calcolato le norme e le fattorizzazioni in ideali primi degli ideali del tipo $(a-alpha)$ cercando di sfruttare qualche ridondanza per trovare qualche unità, trovato un solo candidato quando vado a fare la divisione tra i generatori dei due ideali di norma uguale non riesco ad esprimerlo come elemento di $ZZ[alpha]$
se qualcuno sa aiutarmi entro più nel dettaglio sparando polinomio, norme e ideali primi!
ho calcolato le norme e le fattorizzazioni in ideali primi degli ideali del tipo $(a-alpha)$ cercando di sfruttare qualche ridondanza per trovare qualche unità, trovato un solo candidato quando vado a fare la divisione tra i generatori dei due ideali di norma uguale non riesco ad esprimerlo come elemento di $ZZ[alpha]$
se qualcuno sa aiutarmi entro più nel dettaglio sparando polinomio, norme e ideali primi!
Risposte
"rubik":
$ZZ[alpha]^*={\pm1}xxZZ$
Non ho capito cosa intendi..
Mi sono spiegato male innanzitutto è $ZZ[alpha]~={+-1}xxZZ$ con $alpha$ radice del polinomio $x^3+x^2+3x+22$
questo perchè il gruppo delle unità di uno $ZZ[alpha]$ è isomorfo a $mu_FxxZZ^(r+s-1)$
dove $mu_F$ è il gruppo delle radici dell'unità del campo $F=QQ(alpha)$ r è il numero di immersioni reali di $QQ(alpha)$ e r è la metà del numero delle immersioni (propriamente) complesse.
nel mio caso il polinomio ha due radici complesse ed una reale questo implica che r=1 e s=1. il fatto che ci sia un'immersione reale implica che $mu_F={+-1}$
viene $ZZ[alpha]~={+-1}xxZZ$ e quindi io volevo un modo per trovare un generatore di quel gruppo.
questo perchè il gruppo delle unità di uno $ZZ[alpha]$ è isomorfo a $mu_FxxZZ^(r+s-1)$
dove $mu_F$ è il gruppo delle radici dell'unità del campo $F=QQ(alpha)$ r è il numero di immersioni reali di $QQ(alpha)$ e r è la metà del numero delle immersioni (propriamente) complesse.
nel mio caso il polinomio ha due radici complesse ed una reale questo implica che r=1 e s=1. il fatto che ci sia un'immersione reale implica che $mu_F={+-1}$
viene $ZZ[alpha]~={+-1}xxZZ$ e quindi io volevo un modo per trovare un generatore di quel gruppo.
molto probabilmente non ti servirà a nulla, ma se supponi che $alpha$ sia radice del polinomio $x^3+x^2+3x+22$, allora vuol dire che eseguendo la divisione (si può fare con Ruffini) tra il polinomio e $(x-alpha)$, il resto ($alpha^3+alpha^2+3alpha+22$) deve essere zero ed il quoziente ($x^2+(alpha+1)x+(alpha^2+alpha+3)$) deve essere esatto, per cui una fattorizzazione contenente $alpha$ si può fare:
$x^3+x^2+3x+22=(x-alpha)*(x^2+(alpha+1)x+(alpha^2+alpha+3))$.
spero ti possa esere utile per continuare. ciao.
$x^3+x^2+3x+22=(x-alpha)*(x^2+(alpha+1)x+(alpha^2+alpha+3))$.
spero ti possa esere utile per continuare. ciao.
La cosa importante è alla fine che se $r_0$ è la radice reale, allora $alpha, \bar alpha$ saranno le radici complesse, ove $\bar alpha$ è il coniugato di $alpha$.
vi ringrazio per le risposte ma sembrano non aiutarmi.
vi dico come mi sono mosso io: il dominio non è necessariamente a fattorizzazione unica però è sicuramente un anello di dedekind quindi c'è fattorizzazione unica degli ideali in ideali primi, ho preso degli ideali principali ho calcolato le fattorizzazioni in ideali primi ne ho cercati due con la stessa fattorizzazione quindi gli ideali sono uguali e gli elementi che li generano sono associati quindi detti x,y abbiamo $x=epsilon*y$ con $epsilon$ unità allora faccio la divisione $x/y$ e la esprimo come elemento di $ZZ[alpha]$ quindi nella forma $a+balpha+calpha^2$. il punto è che non riesco a fare questo quindi mi domandavo se esistesse un metodo algoritmico per produrre un'unità, che poi sia quella che genera tutto il gruppo è un altro problema
vi dico come mi sono mosso io: il dominio non è necessariamente a fattorizzazione unica però è sicuramente un anello di dedekind quindi c'è fattorizzazione unica degli ideali in ideali primi, ho preso degli ideali principali ho calcolato le fattorizzazioni in ideali primi ne ho cercati due con la stessa fattorizzazione quindi gli ideali sono uguali e gli elementi che li generano sono associati quindi detti x,y abbiamo $x=epsilon*y$ con $epsilon$ unità allora faccio la divisione $x/y$ e la esprimo come elemento di $ZZ[alpha]$ quindi nella forma $a+balpha+calpha^2$. il punto è che non riesco a fare questo quindi mi domandavo se esistesse un metodo algoritmico per produrre un'unità, che poi sia quella che genera tutto il gruppo è un altro problema
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